这篇文章是给中学生看的，我发现很多中学生纵使能知道分数、小数各自的集合范围，但理解停留在表面。我想通过两个证明来更加明确各自的内涵。「分数」这个名词取得就很本质，把整数平均分成几份儿就是分数。分数和整数构成有理数，无理数即不能表示成整数或分数的数。用两整数之比就可以表示所有有理数。那么有理数就可以由整数来构建。那无理数能用有理数来构建吗？大学的【数学分析】就是用有理数的极限来构建的实数。「小数」这个名词就透露了「极限」，这种数的表示天然的给了你一个收敛数列。比如π=3.1415926......，它天然的给了你一个数列｛3, 3.1, 3.14, 3.141, ......｝，这个数列就收敛到π。小数可以表示分数，也可以表示无理数，能表示成分数的小数是有限小数或无限循环小数。很多中学生只知道这个结论，但不知道原因。现在就给出两个命题来证明。
命题1 ： 无限循环小数是分数。
证明 ：设a是一个无限循环小数，从小数第n位开始出现循环节，循环节长度为m，那么
b是一个整数，则
证明了a是一个分数。举个例子，有无限循环小数a=3.15616161......，100a=315.616161......，10000a=31561.616161......，则
10000a-100a=31561-315
于是a是分数。
命题2：分数是有限小数或无限循环小数。
证明： 假设a是一个分数表示成a=m/n，m,n是正整数，且n不等于0。设m除以n，商为x1,余数为r1，r1<n, 10*r1除以n的商为x2，余数是r2，r2<n，这样一直进行下去，存在两种情况，情况一是，存在t,使得
情况二是，根据抽屉原理，一定会出现一个余数与之前的余数相等，假如
则a=m/n表示成小数对于第一种情况是
对于第二种情况是
这样就证明了分数是有限小数或无限循环小数。
根号二是无理数，所以它表示成小数是无限不循环小数。根号二是无理数的证明方法早在古希腊的欧几里得时期就已经出现，即用反证法假设它是分数，推出矛盾。假设
推出a,b都是偶数矛盾。
小数这种数的表示在证明实数的性质时用的比较多，比如前面写过一篇【证明实数不可列】，就是用的小数的表示形式。
