楊振寧對物理學之美，尤其是理論物理學之美有過長期的關註和深入思考，在20世紀80年代初開始發表相關研究著述。他認為理論物理之美不僅存在，還在演變中愈發豐富；理論物理之美不僅給物理學家以美的愉悅，還對他們關鍵的創新工作具有重要的引導作用。正確歸納、闡述楊振寧的相關思想，不僅具有基本的學術價值，還具有總結與提煉科學方法之作用。要達到這樣的目標，全面整理並深入解讀楊振寧在該領域的著述是研究的基礎；楊振寧的訪談中針對其中關鍵問題的解答，為科學美如何介入科學研究提供了恰當的具體案例；楊振寧解答關於科學美問題的回函，充分展示了他感受數學美的一個獨特視角，也揭示了他培養感受科學美感的直覺能力的一種有效方法。
美感兼具客觀性和主觀性，科學美還具有專業知識內容——不懂科學的人，即便是偉大的藝術家也難以感受到科學所蘊含的獨特美。楊振寧對科學美，尤其對物理和數學之美，有過長期的關註和深入的思考。楊振寧有時候一般性地稱其為「科學美」，有時候則更具體地稱之為「物理美」或「理論物理之美」，而更準確地說，他所關註和思索的，主要是理論物理領域各個層次所展示出來的科學美。1982年楊振寧發表了第一篇重要的討論美與物理學的文章，該文於1988年由張美曼譯成中文(圖1)。在文中他明確指出：「科學中存在著美，所有的科學家都有這種感受。」這一表述除肯定科學美的存在，還反映出楊振寧對科學美以專業知識為基礎的內容有清晰的認識。楊振寧曾用幾個關鍵詞概括理論物理學之美：「和諧、優雅、一致、簡單、整齊等等，都與科學中的美，特別是與理論物理中的美有關。」進而他卻發現難以用這些詞恰當定義科學美。他對此的理解是科學家在一個時期很在意和諧、一致，而在另一個時期卻更重視優雅、簡潔或其他，這意味著物理學中美的概念不是固定的，而是動態的、發展的。
圖1 楊振寧論述理論物理之美的第一篇重要文章
楊振寧對理論物理美之動態性的深入闡釋
理論物理學中美的內涵處於變化之中，楊振寧認為其根本原因在於「理論物理學的題材是發展的
」，物理學家對美的感受也隨之改變。為了描述物理學新領域中的新現象，必須提煉出前所未有的標誌性新概念，如加速度、力、重力、場、波粒二象性、量子化等等，都是不同時期標誌著物理學發展的新概念。以電磁學為例，在發現庫侖定律、高斯定律、安培定律和法拉第定律之後，楊振寧說：「為了繼續前進，我們需要的不僅是這些經驗定律。我們還需要麥克斯韋的重要的場的概念，需要用這一概念來代替超距作用的概念」。基於場的概念，麥克斯韋奮鬥近乎20年，建立了可以與牛頓經典力學媲美的電磁場基礎理論——麥克斯韋方程式組，從而締造了物理學又一完美的理論體系。
理論物理美之動態性還與理論物理日益數學化密切相關，甚至可以說理論物理美是經過其不斷地數學化而實作的。物理學的數學方法創於伽利略，楊振寧說伽利略貢獻了一種研究方法，也為創造理論物理之美締造了可行的手段：「物理定律可以用精確的數學語言來描述……伽利略的觀念是一種深刻的美的觀念。」縱觀20世紀物理學的重要發展，楊振寧指出，物理學的數學化正在加速進行：狹義相對論的基礎是超直觀的數學四維時空概念，廣義相對論建立在黎曼幾何基礎之上，量子力學概念的數學基礎是無限維的希爾伯特空間，規範場論建立在纖維叢幾何之上。隨著一個又一個漂亮而抽象的數學理論的介入，理論物理由此獲得更為豐富的科學美：「所有這些數學發展對20世紀的物理學是非常重要的，它們相當抽象又非常美麗。」
楊振寧所闡述的理論物理美的動態性，其實質就是隨著理論物理的發展，有精致的概念、具有美妙結構的理論、具有結構美的數學工具等，不斷出現並充實到理論物理之中，從而使理論物理的美更加豐富、更加色彩繽紛。
楊振寧論理論物理美的三個層次
楊振寧深入研究理論物理之美後指出，它包括三個基本層次
，分別是：現象之美、理論描述之美與理論結構之美。他同時強調，這三個層次之間並非彼此涇渭分明，不存在明確的分界線。
楊振寧認為理論物理現象美還分為兩種
，即直觀的自然美與抽象或想象的物理美。前者直觀可見，楊振寧以彩虹為例予以說明：「早在童年時，看到虹我們會脫口而出‘美極了’。」楊振寧進一步以物理學家對行星軌域的認識、對原子譜線與外界條件無關結論的認識、對微觀超導現象的認識為例，說明理論物理的現象美不都如彩虹美那樣直觀，有些還需要基於一定抽象的專業知識、經過間接的實驗測量(如物理學家看不到導體內的運動電荷，但可以測量宏觀量電流強度的變化與否)，以及物理學家的想象(如想象行星光滑的橢圓軌域、想象原子類別似太陽系的有核模型等)，才能被物理學家感受到。第二種情形與直觀的自然美在感受方式上存在巨大的差別，但也有相同之處，即一旦搞清楚這些非直觀可見的復雜現象，物理學家與觀察到直觀的自然美一樣，也喜悅、驚訝與驚奇，從而獲得美的感受。總之，理論物理現象之美，給物理學家的或是直接的爽心悅目，或是間接認識後產生的不可思議的驚訝與驚奇。
楊振寧以庫侖定律、熱力學第一、第二定律以及放射元素指數衰變定律等為例，說明這些定律都是對表面上雜亂無章的物理現象精準而簡潔的描述，都實作了用一個簡單的公式，充分表述某一類復雜現象的目標，揭示了現象背後的本質關系，都是「漂亮的」、「很美的」理論描述。因此，理論物理的描述之美，即指用最為簡潔的數學公式對復雜自然現象的描述。對現象的紛繁復雜性認識得越深刻，對理論物理描述美的感受即愈強烈。理論物理描述之美是一種簡潔美，一定意義上它是理論物理學家對研究結論的表述方式之極致追求使然。而在做這種極致追求時，物理學家感受美的能力發揮著決定性的作用。楊振寧曾借用狄拉克的話揭示這一道理：「使一個方程式具有美感比使它去符合實驗更重要。」而什麽樣的方程式才最具有美感，需要理論物理學家本人去感悟和把握；楊振寧指出狄拉克有「感知美的奇異本領」，認為這是狄拉克能做出重要科學貢獻的決定性因素。
自然界存在並非一目了然的各種結構，如元素周期律、原子的有核結構、水分子中氧原子和兩個氫原子的空間排列關系、以點陣為基礎的各種晶體的對稱結構，月亮按照一定周期圍繞地球轉，地球又帶著月亮按照一定的節奏圍繞太陽轉動等等，都包含著美妙的結構。楊振寧以元素周期表為例，指出性質相似的元素縱列排在一起，人們可以按照這個規律去發現新的元素，這很美妙，但是仍屬於現象美範疇。量子力學誕生後，物理學家借助群論這一數學工具才得以描述和解釋周期表內涵的特性，如周期性為什麽存在等等。與此相類，物理學家一旦認識到一種自然界結構，如行星運動的橢圓軌域、原子的有核結構等，會有洞察奧秘、明心見性、豁然開朗的愉悅和美感，因為他知道自己的身體也是由這樣的原子構成的；而一旦在數學中找到與大自然結構相似，因而恰好能反映後者的數學工具，比如群論、纖維叢等等時，兩種結構恰如其分的精美契合，會讓科學家感受到另外一種震驚與美妙。正如楊振寧所說：「自然界為它的物理定律選擇這樣的數學結構是一件神奇的事」。因此，物理學理論結構之美，不僅指大自然具有的優美精致之結構，也不僅指理論物理能反映這種美，還包括這種自然結構之美與數學理論結構美之間的契合。物理學家為之震驚並感到神奇，很大程度上是因為，那些對物理學極為有效的具有一定結構的數學理論，多數是數學家在不了解大自然的結構、不知道物理學理論的前提下，按照數學方法主觀構造出來的！
簡單地說，物理學家對理論物理學三個層次之美的感受有所不同：數學家主觀構造的數學能奇妙地描述自然現象並揭示自然現象內在的奧秘，這令理論物理學家困惑；理論物理的理論描述之美，使物理學家頭腦中湧現優雅、簡單、整齊等與美有關的詞匯；而理論物理的結構美，則直接震撼物理學家的靈魂。楊振寧曾指出，理論物理的結構美給予他的是無與倫比的震撼，他由此感受到了「一種莊嚴感，一種神聖感，一種初窺宇宙奧秘的畏懼感。……(這)是籌建哥德式教堂的建築師們所要歌頌的崇高美、靈魂美、宗教美、最終極的美。」
對於牛頓運動方程式、麥克斯韋方程式組、愛因斯坦的相對論方程式、狄拉克方程式和海森伯方程式等基本方程式，楊振寧有過這樣的評價：「它們提煉了幾個世紀的實驗工作與唯象理論的精髓，達到了科學研究的最高境界。它們以極度濃縮的數學語言寫出了物理世界的基本結構，可以說它們是造物者的詩篇。」這是楊振寧對理論物理學的描述之美與理論結構之美的最高贊頌。如果自然現象本身沒有結構之美，也就沒有這些基本方程式；如果沒有恰當的數學，也不會寫出這些基本方程式。因此，理論物理的理論描述之美及結構之美，是借助數學反映和揭示出來的自然美。
楊振寧論科學美與科學創造
1985年1月在香港中文大學，楊振寧談到科學家如何在廣泛的事實中選擇值得研究的內容時指出：「如果把不同科學家的工作拿來比較一下，就會發現他們的取舍方針很不同，他們對於自然現象裏的規律和其美與妙的了解不同，這就決定了他們的風格，也由此而決定了他們的工作的重要性。」這是他對科學美感決定科學家的研究視角和研究風格這一觀點的準確描述，也是對自己科研風格的一種總結。孫昌璞曾這樣評價楊振寧的科學美造詣及寓於其成果中的科學美：「楊振寧是理論物理之美的創造者和實踐者，規範場和楊—巴克斯特方程式堪稱其美之創造典範。在很多非常具體的工作中，楊先生創造和把握‘美’的能力可謂登峰造極。」
楊振寧和愛因斯坦同為偉大的理論物理學家，共同的研究領域、面對類似的難題、解決難題的類似經歷和感悟，使他們有諸多相似的科研心路歷程。當楊振寧功成名就後總結其理論物理研究方法時，他常常去學習愛因斯坦在自己類似時期的類似自我描述。功成名就的楊振寧為什麽要閱讀愛因斯坦的這類著述？顯然在回首科研往事時，在這兩位理論物理學家之間，發生了「現在」(楊振寧)與「過去」(愛因斯坦)的思想共鳴。透過楊振寧1979年在談論理論物理的方法時參照的愛因斯坦的關鍵語句，可以感受到他們二人思想共鳴的漣漪和余音。在愛因斯坦諸多同類話題著述中，楊振寧選擇參照了這樣的語句：「……理論物理的基本假設不可能從經驗中推斷出來，它們必須是不受約束地被創造出來……經驗可能提示某些適當的數學概念，但可以非常肯定地說，這些概念不可能由經驗演繹出來……」這句話為何重要？因為它深刻地揭示了理論物理學創造性研究的本質：理論物理研究中提出的假設以及基於假設的新理論，不能違背實驗經驗，但是它不是由實驗經驗直接歸納或推論出來的，而必須依賴理論物理學家大膽、嚴謹的創造性構思；與此相似，數學概念也不能由經驗直接演繹出來，也必須依賴數學家的創造性思維。所謂原創科研就是「無中生有」地提出新的概念、創造出新的理論。這也是科學原創性工作艱難因而也格外重要的原因。理論物理的理論描述之美與結構之美，不是經驗事實不斷累積過程中自發湧現並賦予理論的，因而只能源於理論物理學家或數學家的思想創造。
這一認識可以由楊振寧概括愛因斯坦思想的語句中直接看出：「愛因斯坦從自己的經驗及本世紀初物理學的幾次大革命中認識到，雖然實驗定律一直是(而且繼續是)物理學的根基，然而，數學的簡和美對於基礎物理概念的形成起著越來越大的作用。」前面說過，楊振寧認為，理論物理的美是動態的、與時俱進的；在這裏楊振寧又指出，數學的簡與美對基礎物理概念的形成起著越來越大的作用。這兩個關於理論物理和數學美之作用的「動態」敘述，描寫的不是彼此無關的兩件事，二者應該有密切的內在關聯，即前者是表現形式，而要靠後者去具體實作。這樣，才能與前文所做的總結一致起來：「理論物理的理論描述之美及結構之美，是借助數學反映和揭示出來的自然美。」因此，理論物理學家的科研創造過程，就是物理現象與數學知識、數學理論合理交融的過程；理論物理的非現象美，不是直接源自實驗經驗的累積，而是數學美向物理學深刻滲透所帶來的結果。
1980年楊振寧在演講中參照愛因斯坦的另外一句話，充分揭示了數學對於理論物理的創造性研究，因而對理論物理之美的決定性作用：「創造性的原理存在於數學中。」
2015年12月22日(圖2)，筆者曾向楊振寧提出一個問題：「楊先生，毫無疑問物理學是實驗科學，您也常常強調這一點；但是，您也曾明確提出，理論物理學家對於數學或理論物理美的直覺感受，往往能幫助他取得重要的科學成就。您可否結合具體案例對此再做些深入說明？」楊振寧對這一問題的回答是：
這個問題可以用我和Mills提出規範場理論的例子做說明。有兩件事情恰巧在那時候相遇，因此就產生了那篇文章和這個理論。第一件事情是發現了很多新的粒子，有很多文章講各種新粒子之間怎麽相互作用，眾說紛紜。我想這樣不行，得有個原則來支配這些亂七八糟的東西，這是第一個重要的點。每二個呢，恰巧我對韋爾1929年提出的電磁場的規範不變性頗有興趣，覺得它很奇妙，但這更是一種數學欣賞。因為那時候大家都感覺它就像一朵好看的花，但沒有什麽真正的用處。可是我對這個大家覺得沒有用處的美的東西，特別欣賞。我想這是因為我比同時代的物理學家對數學的認識多一些，能感覺到有很妙的數學在這裏邊。第一點可以說是物理的見解，第二點是數學的見解，恰巧我把這兩個聯系在了一起。接下來我就想去找一個與韋爾的規範場相一致的原則，結果就寫出了最初關於規範場的文章。後來我把這個原則歸納成一句話：「對稱性支配相互作用。」200年以後人們問楊振寧對物理的貢獻是什麽呢？答案就是這句話，我就是找出了一個基本的原則，它的重要性在於它是一個總體的原則，能把本來亂七八糟的東西都包括在其中。現在美中不足的是重力場還沒有包括進來，關於重力場的新的對稱性是什麽呢，還沒有找出來。我想以後的主要研究方向還是要把對稱性的意義做拓展，或者是物理學出現與此前類似的發展，才有可能包容重力場。
圖2 2015年12月22日，本文作者與楊振寧先生合影
楊振寧敘述的如何以美的觀點去指導或影響科學研究的這個案例表明：他之所以能提出重要的規範場理論，有三點十分重要。第一，他對當時粒子物理學的研究現狀以及必須首要解決的關鍵問題，看得透、把握得準。在這個層面，在他提出規範場理論之前，粒子物理領域實驗事實累積的「現狀」所呈現的是：諸多現象「亂七八糟」堆在一起的一種非美的狀態。第二，他樂於深入品味在很多人看來沒用的數學理論，如規範不變性的數學描述，雖然當時它看似毫無用處，但他感受到了寓於其中的美妙結構。事實上，規範場理論的美就蘊含在其中，解決粒子物理學「亂七八糟」非美現狀所需要的創造性，也蘊含於其中。第三，最為關鍵和重要的是，在前兩點的基礎上，在適當的時侯楊振寧能將那個美妙的數學結構與將要攻克的物理難題，創造性地聯系起來，由此發生「化學反應」的結果是湧現建立新理論的思路、徹底解決問題，進而完成重要的科學創造，成功提出規範場理論。
楊振寧自己思考並借鑒愛因斯坦對理論物理創造性及理論物理美的闡述，給出了對相關話題的自我闡釋。基於兩位在相關話題上的諸多闡述，我們可以最終概括出兩點：理論物理除了現象美之外的所有美感，均來自於數學美；理論物理的創造性，很大程度上在於敏銳發現並創造性地套用了合適的數學工具。
楊振寧感受數學美的一個新視角
2015年12月22日，在楊振寧先生寓所與他交流時，談到數學之美，他舉的一個例子是柯西定理：「柯西定理是一個古怪的方程式，積分轉一圈，如果圈內沒有奇異點，積分結果等於零。這個定理的發現者一定覺得這個結論妙不可言；我想任何一個人真正懂了這個定理以後，都會覺得驚訝，這真是美妙極了。」2019年3月21日，本文作者給楊振寧先生寫了一封郵件：
楊先生：
您好！不知道您是否記得——2015年您曾對我說：第一個發現
這個公式的人一定激動並驚訝不已，因為這個結論太美妙了。說實話，您的說法當時令我困惑，現在也是。所以今日特就此向您請教。按照復變函數理論，一個復變函數，如果是解析的，即在區域內連續可導，借助格林公式，則柯西定理是輕易可以匯出的必然結果：
可以從物理學的角度去理解這個等式，如它代表沿任何閉合路徑計算重力隨位置變化所做的總功結果為零：
。這一結論同樣適用於靜電場等所有無耗散的保守力場。因此，在我看來，無論從數學知識還是從物理實際案例的角度，柯西公式似乎都是一個必然的結果而不具有其他深刻的寓意。我想請教您的是：當您以這個公式為例說有的數學研究結論一定令數學家感覺驚奇時，柯西定理的數學知識背景、推導過程以及對應的物理內涵，在您的腦海裏是如何浮現的？您的說法是思考這些內容之後得出的感受，還是僅就這個式子的簡潔表達形式本身而言的呢？
請您回憶一下。多謝，祝健康愉快。厚宇德
楊先生提到的柯西定理，僅是柯西定理的最簡單情形，即單連通區域柯西定理，這個定理可以很容易地予以證明。證明過程完全基於數學上已知的格林公式，復變函數積分與解析函數等相關定義，以及解析函數實部與虛部滿足的柯西—黎曼條件。因此，在筆者看來，一切自然而然，既無意外，也沒什麽令人驚奇之處。打個比方，這個公式之所以成立，本質上就像在滴水皆無的沙漠裏用竹竿圍起個封閉的柵欄，並在柵欄內也埋栽若幹竹竿，然後計算被柵欄圍起來的那塊沙漠區域內成活的竹子的根數，一般而言必有下式成立：
如果在極限近似情況下，將組成柵欄的竹竿密集排布視為連續排布，這個式子也可以類似地寫成與單連通區域柯西定理相同的形式：
這個公式反映的是毫無意外的必然結果：柵欄圍起的沙漠中成活的竹子數為零。如果不然，才會令人覺得不可思議——那一定是埋栽於滴水皆無的沙漠上的竹竿，有的竟然生根成活了，這才會令人不解、令人驚訝。這正是楊先生對柯西積分有那種強烈反應，令筆者費解並致函請教的原因。
在致函楊振寧先生的當天下午，即收到回函(圖3)。
圖3 2019年3月21日楊振寧先生回函
筆者反復閱讀並認真體味這幾句話，最後發現楊振寧的做法竟然是跳出數學概念的內涵、幾個量之間滿足的數學關系，也不在意具體的分析與推導過程，而面對最終表達數學結論的公式，完全依據本能和直覺去感悟和洞察空間奧秘。只有這樣忘卻自然而然的具體分析和推導過程，才能對最後的簡潔運算式驚訝與不解：一個區域內部的函數情形，竟然決定著區域路徑積分的結果！站在本能和直覺的層面，看待這個數學結論，楊振寧經過類似「看山不是山」的視角轉換，思想上產生了新的感悟、進入了新的境界。
在對楊振寧的說法和做法有了如此理解之後，在筆者看來，一般情形下解析函數的積分，即復連通區域的柯西定理，應該更能揭示楊先生所要表達的寓意。所謂復連通區域指的是在積分路徑圍繞起來的區域內，被積復變函數不解析即非處處可導，而是存在若幹奇異點。設復變函數()在積分路徑所圍區域上除有限個孤立奇異點,b1 ,b2 …, bn外解析，即處處可導(圖4)，在閉區域上除b1, b2, …,bn 外連續，則()沿的積分滿足下式：
其中Re ()是函數()在點的留數值。因為引入了留數概念，這個計算復變函數積分的公式也被稱為留數定理。留數定理說明，在積分路徑所圍區域記憶體在不可導奇異點的情況下，復變函數沿積分路徑的積分值，等於被積函數在積分路徑所圍區域內各奇異點處的留數之和。
圖4 留數定理說明圖
即使不介紹留數的具體計算方法，也不難認識到一個事實：一個復變函數沿著一個路徑的積分值，完全由這個路徑包圍起來的區域內各奇異點處的留數值所決定。毫無疑問，這更能充分體現楊振寧先生所要強調的：沿著一個曲線的積分結果，竟然完全由這個曲線包圍起來的區域內各特殊點的情況所決定。如果不了解匯出這個結論過程中所需要的數學知識，這一結果卻是令人驚訝。而決定這個結論的所有奧妙都在數學上推導之前所定義的相關數學概念以及數學上已知的一些公式——復變函數、柯西—黎曼條件、格林公式、復連通區域、復變函數的奇異點、復變函數在孤立奇異點處的留數。有了這些定義及符合這些條件的復變函數，那麽留數定理就是必然的結論。因此，從本質上說，這個滿足特殊條件的復變函數的積分公式，完全是數學家定義出來的，證明過程只是將這些定義賦予函數的內涵簡單展示出來並參與運算而已。然而一旦忘卻或者像楊振寧那樣根本不考慮數學上的這些具體定義及推導過程，即忘記所屬、忘記其產生過程，故意令自己的意識停駐於看山不是山的內心狀態，再去直接感悟數學公式的寓意，才會產生他所表達的那種不可思議的驚奇。
培養科學直覺的一個秘訣
楊振寧先生感受數學驚奇即數學美的做法和視角告訴我們，他數學與物理造詣深厚，不僅僅體現為掌握較多的數學知識並熟練地以它們為工具經過繁瑣的數學計算來解決物理問題，也不僅僅體現為擁有淵博的物理知識、掌握一些解決物理問題的規則和方法，還體現在他看待數學問題(哪怕是既有的結論)以及進一步看待物理現象時，能夠做到不拘泥於嚴謹的專業知識細節，因而不受其束縛，主動采取忘卻數學知識及具體的推導環節，而用一種近乎外行地、貌似膚淺地從表面去直覺看待、感受、理解和思考簡潔的數學公式或物理表述的深刻寓意。這樣做的好處是，其一，由此可以突破具體的細節知識及其之間邏輯關系的局限，這種局限往往導引學者跟隨既有的邏輯去展開思維，卻體會不到某個數學與物理結論本身可能蘊含的更深刻的奧妙。如為柯西定理相關知識所局限，筆者對它本身只能感受到由定義、推導到結論之間的嚴謹，及其中近乎平淡的自然而然。楊振寧的做法，卻使他在很多人看來平淡而必然的結論裏，感受到了那份難得的驚奇——即物理學家對數學美與物理美的敏感而強烈的反應或與其產生的共鳴。其二，自覺放棄專業知識的約束，以直覺的角度去感受數學問題和物理現象，如此不斷的嘗試和實踐有助於培養物理學家對科學美本能的洞察力。楊振寧分析狄拉克的研究過程後發現，狄拉克做出重要物理貢獻的靈感往往來自於他對數學美的直覺感悟和欣賞，他曾以狄拉克提出反物質理論為例，說明科學家在科學美的指引下確實能完成關鍵突破、取得重要成果。事實證明，以直覺與本能的角度去看待數學問題和物理現象，是楊振寧成功的研究方法中非常關鍵的一環，值得理論物理同仁們深入參悟。
參考文獻
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作者：厚宇德
(山西大學科學技術史研究所)
本文選自【物理】2024年第6期
來源：中國物理學會期刊網
編輯：悅悅
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