「量子纏結」這個詞已廣為人知，無需再行解釋。然而，眾多不靠譜的文章反而使人對量子纏結的概念越發迷茫。有些文章為了迎合大眾，甚至將量子纏結比作心靈感應或是與太極八卦相提並論。科普作家的水平限制了讀者的理解深度，專業的學問仍然需要精確的闡述。本文將介紹一些符號和數學，但盡可能保持易懂。雖然通俗與嚴謹難以兼顧，但本文將嘗試做到兩者平衡。
首先，讓我們回顧一下光學的發展歷史。人類對光的本質的探索深化了我們對微觀世界的理解。
在牛頓時代之前，人們已經開始探討光的本質。雖然牛頓之前的歷史不作過多討論，牛頓本人則認為光是極微小的粒子，這一理論能夠很好地解釋光為何沿直線傳播。當然，也有人持反對意見，例如惠更斯和與牛頓同時代的虎克，他們都支持光的波動理論。如果光僅為粒子，則難以解釋光的繞射和幹涉現象。
從現代的角度看，無論是粒子說還是波動說，它們都屬於經典力學的範疇，各有其片面性。直到20世紀初，隨著量子力學的興起，我們對光的本質有了新的理解。愛因斯坦的光量子假說認為光並非牛頓描述的實體粒子，而是光量子，即電磁波能量的基本單位，不可分割。
光量子通常稱為光子，它既表現為量子，也表現為波。光同時具備粒子性和波動性，這被稱為光的波粒二象性。
這種波粒二象性不僅適用於光子，其他微觀粒子也具有相同特性。
例如，電子的雙縫幹涉實驗也顯示，即便被視為粒子的電子亦具有波動性。該實驗的更為神奇的發現是，一個電子能同時透過兩個縫隙到達螢幕。我們現在知道，當電子未被觀測時，它可以同時存在於兩個地點。用波粒二象性解釋，未觀測時電子同時具有粒子性和波動性，處於疊加狀態；觀測則使其波粒狀態坍塌至純粒子狀態，波動性消失。從不確定性原理（原誤譯為測不準原理）來看，電子的動量和位置不能同時精確測定；動量越準確，位置越模糊，反之亦然。
這種令人稱奇的現象經過越來越多實驗證實確實存在。如果量子力學的解釋是錯誤的，那麽今天你也不可能使用手機和電腦。現代科技革命正是建立在這些「荒謬」的自然現象之上。
盡管有些非主流科學家試圖推翻哥本哈根學派對這些自然現象的解釋，並捍衛物理的現實論，但科學家們的態度是：既然這是自然事實，就應當接受。現在的任務是找出合適的數學工具來解釋這些現象。
現在我們了解到，所有微觀粒子都具備波粒二象性，並且都處於疊加態。德布羅意波則告訴我們，所有物體，即便是像地球這樣的宏觀天體，也具有波動性，只不過因為振幅極小而難以觀測到。
讓我們以電子為例探討什麽是疊加態。理論上一個電子可以同時存在於美國和中國。但如何用數學描述這種現象呢？
我們知道，傳統的電子電腦處理的是0和1這樣的位元位。而量子電腦的威力在於它能同時處理這兩個位元位，從而在計算速度上遠超傳統電腦。
物理學家狄拉克發明了一種符號，即狄拉克符號|ψ>，來描述疊加態的粒子。在這個符號中，粒子的兩個可能狀態可以被視為物理學中的向量，既有大小也有方向，因此疊加態也被稱為態向量。
狄拉克符號的核心是符號| 和 >，中間的ψ僅代表粒子的狀態。這種符號，如（）一般，用於表達物理形態，不應因陌生符號而感到恐懼。
我們知道，電子可以同時處於0和1的狀態。用狄拉克符號表示，電子處於0的狀態是|0>，1的狀態是|1>。如果不觀察電子，它就處於0和1的疊加態，即|0>+|1>。
在講解一些基本的數學概念之前，假設有一個函數f(x,y)=xy，這個函數可以分解為兩個單獨的一元函數的乘積，如f(x,y)=f'(x)f"(y)。這意味著復雜的函數可以被分解成簡單的子函數，這在數學上稱為分離函數。
但並非所有函數都是分離函數。例如，函數f(x,y)=8xy+1就不能簡單分離為兩個一元函數。這表明這類函數無法分離。
在多個微觀粒子組成的系統中，如果這個多元函數可以被簡單地分解為兩個一元函數，那麽這兩個粒子就不存在任何「經濟」糾紛，即一個粒子的測量不會影響另一個粒子。
在多元函數中，存在著無法分離的函數，這意味著兩個粒子共享同一個函數，無法分家。這種情況下，對其中一個粒子的測量必然影響另一個粒子的狀態，這兩個粒子因此形成了纏結粒子。
繼續探討狄拉克符號。設想一個粒子的狀態為a|0>+b|1>。在觀測這個粒子後，無論是處於0狀態還是1狀態，理論上它都可能出現在空間的任何位置。在狄拉克公式中，無論是0狀態還是1狀態，都需要在其前面加上任意的數a和b。a和b的存在使得疊加態的粒子能出現在任何位置，因為這兩個參數可以取任意值。
然而，a和b之間必須保持一定的關系。想象一下，不管粒子在哪裏，整
個空間中找到這個粒子的概率總應該是100%，粒子不可能在整個宇宙空間中消失。如果我們將整個空間理解為數學上的1，則有|a|²+|b|²=1。如果我們設定a和b均為1，那麽a|0>+b|1>的形式就變成（|0>+|1>）/√2（除以根2是為了確保|a|²+|b|²=1，因為我們前面已經設定了a和b均為1）。
（|0>+|1>）/√2也是單粒子疊加態的最常見表達方式。如果甲乙兩個粒子處於同一個系統中，它們的狀態可以表示為|00>+|11>，這個運算式中的加號左側的（|00>的第一個0表示甲的0狀態，第二個0表示乙的0狀態，右側的|11>中的第一個1表示甲的1狀態，第二個1表示乙的1狀態。我們也可以繼續寫出a|00>+b|11>的形式，如果|a|²+|b|²仍等於1，那麽我們可以確認甲乙兩個粒子處於疊加態，此時的狄拉克運算式為|00>+|11>/√2。實際上，|00>+|11>/√2表明這兩個粒子之間存在某種無法分解的聯系，這種聯系即|a|²+|b|²=1。你可以將這種聯系視為前文提到的不可分離函數。
這就是量子纏結的本質，這種聯系意味著即使兩個粒子相距遙遠，測量其中一個粒子的狀態，另一個粒子的狀態也會同時發生變化。
