上一篇研討了【狹義相對論】的第一節，這一篇我們來研討第二節。
第二節的題目是「座標系」。初讀這一節時，以為愛因斯坦大約是要搞出一個自己的座標系，以取代前人的座標系。在前一節，愛因斯坦就是要用「三點位於一直線上」來取代歐幾裏得的「過兩點只有一直線」的公理。但是，讀了這一節後，卻沒有看見愛因斯坦的座標系。那麽，愛因斯坦寫這一節的目的是什麽呢？我們看一下這一節的開頭。
「根據前已說明的對距離的物理解釋，我們也能夠用量度的方法確立一剛體上兩點間的距離。為此目的，我們需要有一直可用來作為量度標準的一個‘距離’（桿S）。如果A和B是一剛體上的兩點，我們可以按照幾何學的規則作一直線連線該兩點；然後以A為起點，一次一次地記取距離S，直到到達B點為止。所需記取的次數就是距離AB的數值量度。這是一切長度測量的基礎。」
所謂「物理解釋」，就是要以實物為標準。如果采用科學的方法，比如用幾何公式來計算，那就不是「物理解釋」，在前一節中，愛因斯坦說那是不真實的。而真實的方法就是用桿子，一桿一桿量。
用桿子測量兩點間的距離，愛因斯坦說「這是一切長度測量的基礎」。這雖然是一句實話，但這種方法畢竟是非常原始的，人類在古代就已經學會了幾何的方法。那麽，愛因斯坦為什麽要采用這種方法呢？倘若我們想要測量一下家裏桌子的長度，隨手拿一把卷尺，或者一個刻有標記的桿子，這當然是很正常的。但是如果我們要測量一座30層樓的高度，是不是也要先搭一個手腳架，然後再一桿子一桿子地測量呢？或者我們要測量一下從家裏到超市的距離，是不是也要拿一根桿子，一路測量過去呢？用桿子測量樓房的高度或超市的距離，雖然是個笨辦法，畢竟還是可以做到的。倘若在戰場上，炮兵要測量敵方目標距離，難道也要拿著桿子到敵方去測量嗎？這一節的題目是「座標系」，愛因斯坦不使用座標系而是使用「桿子」，他究竟想說什麽呢？不要急。愛因斯坦的論述總是與眾不同的。在前一篇文中我們說過，愛因斯坦總是要把一件簡單的事情，用非常復雜的語言表述出來。如果他說的話，你一下子就能聽懂，那就不是愛因斯坦了。我們來看下面這一段。
「描述一事件發生的地點或一物體在空間中的位置，都是以能夠在一剛體（參考物體）上確定該事件或該物體的相重點為根據的。不僅科學描述如此，對於日常生活來說亦如此。如果我們來分析一下‘北京天安門廣場’這一位置標記，我就得出下列結果。地球是該位置標記所參照的剛體；‘北京天安門廣場’是地球上已明確規定的一點，已經給它取上了名稱，而所考慮的事件則在空間上與該點是相重合的。」
（文中「北京天安門廣場」這個地名，我所使用的這本「北京大學出版社」出版的【狹義與廣義相對論淺說】一書的譯者註釋：原書舉德國地名，英文版舉英國地名，為方便中國讀者閱讀起見，改用中國地名。）
要確定一物體在空間中的位置，可以用座標來測定。在測定位置時，三條互相垂直的線相交的那個點，就是物體的位置。愛因斯坦不使用通用的「相交」這個概念，而是使用「相重合」這個概念，是要表示與其它座標系的不同。我們再往下看。
「這種標記位置的原始方法只適用於剛體表面上的位置，而且只有在剛體表面上存在著可以相互區分的各個點的情況下才能夠使用這種方法。但是我們可以擺脫這兩種限制，而不致改變我們的位置標記的本質。譬如有一塊白雲飄浮在天安門廣場上空，這時我們可以在天安門廣場上垂直地豎起一根竿子直抵這塊白雲，來確定這塊白雲相對於地球表面的位置。用標準量桿量度這根竿子的長度，結合對這根竿子下端的位置標記，我們就獲得了關於這塊白雲的完整的位置標記。根據這個例子，我們就能夠看出位置的概念是如何改進提高的。」
用一根桿子測量一塊白雲的高度，還說是「改進提高」了，這是不是讓人很難理解呢？從理論上來說，用一根桿子來測量白雲的高度是可以成立的，但也就只能在理論上來說說而已，在現實中是不可能的。愛因斯坦對此是這樣解釋的，
「（1）我們設想將確定位置所參照的剛體加以補充，補充後的剛體延伸到我們需要確定其位置的物體。」
這根桿子，就是愛因斯坦說的補充。
「（2）在確定物體的位置時，我們使用一個數（在這裏是用量桿量出來的竿子長度），而不使用選定的參考點。」
這個參考點是用量桿量出來的竿子的長度的起點，也就是空間物體的參照物。按照愛因斯坦在前面的說法，這個參考點是和所確定的物體的位置在空間上是相重合的。竿子的長度所表示出來的點，即是這個重合的點。因此，它是一件事物的不同的幾個方面中的一個方面。如果不使用這個參照物，又該如何來確定這個空間物體的位置呢？
「（3）即使未曾把高達雲端的竿子豎立起來，我們也可以講出雲的高度。我們從地面上各個地方，用光學的方法對這塊雲進行觀測，並考慮光傳播的特性，就能夠確定那需要把它升上雲端的竿子的長度。」
豎立這根竿子的目的，是為了要測量雲的高度。既然可以用光學的方法測量雲的高度，又何必要豎立這根竿子呢？這實際上是愛因斯坦的一種推導方法：如果一種假設無法推匯出結果，可以使用其他的結果來證明這個假設。用結果來證明推導過程，推導和結果的位置不就顛倒了嗎？在這裏，推導的目的也不是為了要得到結果，就只是為了推導。豎立這根竿子，也不是為了要測量雲的高度，其目的就只是為了要豎立這根竿子。我們來看看愛因斯坦自己是怎麽解釋的。
「從以上的論述我們看到，如果在描述位置時我們能夠使用數值量度，而不必考慮在剛性參考物體上是否存在著標定的位置（具有名稱的），那就會比較方便。在物理測量中套用笛卡爾座標系達到了這個目的。」
我們不知道為什麽在確定位置的時候，不考慮參照物會比較方便。我們且往下看。
「笛卡爾座標系包含三個相互垂直的平面，這三個平面與一剛體牢固地連線起來。在一個座標系中，任何事件發生的地點（主要）由從事件發生的地點向該三個平面所作垂線的長度或座標（x、y、z）來確定，這三條垂線的長度可以按照歐幾裏得幾何學所確立的規則和方法用剛性量桿經過一系列的操作予以確定。」
迷底揭開了。前面說了那麽多，重點就是最後的這一句。愛因斯坦把他的桿子和歐幾裏得幾何學以及笛卡爾的座標系搭配在了一起，就好像商業上的搭配銷售。當你使用歐幾裏得幾何學及笛卡爾的座標系時，需要用愛因斯坦的桿子一桿子一桿子地去測量。如果長度太長，無法使用桿子的時候也不要緊，可以使用別人作出來的數據作為自己的結果。這雖然不是一種科學的方法，但的確是一種很妙的方法。或者是愛因斯坦所說的「比較方便」的方法。
崇拜愛因斯坦的人是很多的。只是不知道這些崇拜者，有沒有學會使用愛因斯坦的桿子呢？
2024年4月22日寫於西安
