數學沃爾夫獎得主伊藤清：數學究竟是一門怎樣的學問？

2024-08-21科學

伊藤清，沃爾夫獎、高斯獎得主，現代隨機分析之父。因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過程等，推動了現代數學的發展。

普通人學習數學是為了掌握基本的數學知識和技能，這種級別的數學大師又是如何看待數學的？

跟隨【世界是概率的：伊藤清的數學思想與方法】，親臨大師演講現場，從數學發展的歷史中理解數學這門學問。

作者：[日]伊藤清

譯者：劉婷婷

數學是一種形式

我是伊藤。大學畢業後，我其實先在大藏省工作了一年，之後在內閣統計局工作了四年。在此期間，我參與了一些與保險相關的工作，因此成了精算師協會的預備會員。那時作為概率論的基礎，柯爾莫哥洛夫的測度論基礎上的概率論盛極一時，大概在1939 年左右，我也在精算師協會介紹過這一理論。五十年後的今天，能再次獲得演講的機會，我深刻感受到了與精算師協會的不解之緣。

首先，我想先講一講數學究竟是一門怎樣的學問。關於數學與物理學的區別，著名數學家赫爾曼·外爾曾說： 「物理是一門研究存在的學問，而數學則是一門研究萬物存在形式的學問。」 我認為這句話中的物理，也可以指代化學、生物學、經濟學等數學以外的學科。

我以淺顯的方式解釋一下外爾先生所講的這句話吧。我們經常接受問卷調查，調查問卷上會設有姓名、住址、出生日期、職業、興趣等專案。我們稱它為調查問卷的格式。我們可以把這個格式看作數學，把被調查者在問卷上填寫的內容看作物理學。這裏或許將物理學換作實驗物理學更為合適。數學物理、數理生物學、保險數學、數理經濟學等，廣義上都可以算進數學的範疇。

前面我也說過， 數學是一種形式，或許也可以說是一種模式。 要說具體是哪種模式，我認為是邏輯模式。更確切地說，是集合論。關於這一點，我將在後面說明。

但是，如果將數學從邏輯的角度看作集合論，那我們只能觸及數學的皮與骨，無法將數學的血肉一並概括進去。事實上，數學是伴隨著人類的進步不斷發展的「生物」，數學的實體便潛藏在這發展之中。因此，我們先來總覽一下數學的發展歷史吧。

數學成為一門學科

根據歷史年表，日本從舊石器時代起，經歷了繩文、彌生、古墳、奈良、平安等時代，直至現在的平成。中國則經歷了夏、商、周、秦、漢、隋、唐、宋等朝代。印度從達羅毗茶文明發展到印度文明，西方則從古埃及文明、美索不達米亞文明、古希臘文明、古羅馬文明、阿拉伯文明等發展至現代的歐美諸國。

人類歷史上初次誕生的數學概念是 自然數1、2、3……這些數碼的英文是one、two、three、four、five、six、seven等，其中 two 和 three 都以字母 t 開頭，four 和 five 以字母 f 開頭，six 和seven 以字母 s 開頭。即使在這些原始的數學概念中，我們也能找到這種不知該說是規則還是邏輯的規律。日語的數詞中也蘊藏著與此全然不同的有趣規則。1（hi）和 2（hu）均以 hB開頭，3（mi）和 6（mu）均以 m 開頭，4（yo）和 8（ya）均以 y 開頭。能夠看出，每一組首字母相同的數碼的比值都是 1 比 2。使用這種數詞的民族極為罕見。

據我所知，僅太平洋的某島有相似的情形。但是，給所有的數碼逐一命名委實太過煩瑣，因此有了十進制。在十進制誕生之前，美索不達米亞文明還存在著二十進制、十二進制、六十進制等現在被歸為計時法、度量衡等的計數方法。十進制雖然在中國已有悠久的歷史，但它是由阿拉伯人傳入歐洲的。

阿拉伯人發明了進位計數制。 古代中國雖然使用了十進制，但在書寫的時候並沒有進位，在表示 151 103 這樣的數碼時，會將其寫成十五萬一千一百零三。也就是說，除一到九的基數外，還必須使用十、百、千、萬等。若想表示更大的數碼，還需要用到億、兆、京等表示更大數目的詞，可謂無窮無盡。若使用進位計數制，只需用阿拉伯數碼的 151103 表示即可，簡明易懂。這時需要在 1, 2, 3, …, 9 中加入 0 作為基數，這個數碼 0 可以說是一大發明。雖然 0 最先出現在印度，但將其套用在進位計數制中使十進制家喻戶曉的是阿拉伯人。

在阿拉伯的計數制出現很久之前的古埃及文明與美索不達米亞文明中，由於日常生活的需要，誕生了 實用數學 ，用來解決初等算術問題、代數問題和幾何問題。從采集經濟的時代發展到遊牧、農耕時代後，這類實用數學不斷發展，可以用來解決天體觀測、土地測量、糧食保存計劃等問題。在中國，數學也是以同樣的方式產生的。

進入古希臘時代後，數學才作為一個超越了實用意義的學科體系建立起來 ，人們開始嘗試以論證的精神構築數學這門學科。其中典型的成果便是 歐幾裏得的【幾何原本】 。在歐幾裏得生活的時代（公元前 300 年左右），人們已經了解了勾股定理、相似圖形、比例理論和其他幾何學知識，應該也在一定程度上思考了這些知識之間的聯系。歐幾裏得就構成平面圖形的基本元素，也就是點和直線進行了思考，並嘗試從「過兩點有且只有一條直線」「兩條直線要麽平行要麽相交」這種無須證明的性質出發推匯出圖形所有的性質。這是最初被體系化的數學，也標誌著 數學成為一門學科。 現代數學依然沿襲著歐幾裏得的精神。

至於這門偉大的學科為何誕生在古希臘，我一直覺得不可思議，至今也沒有找到答案。在歐幾裏得的時代，古希臘的哲學興盛異常，註重理性思考，對任何事都講究追根溯源，試圖從本源出發解釋其他事物。另外，智者十分活躍，經常相互爭論，因此形成了從邏輯角度出發去思考事物的習慣。

同一時期的中國正處於以孔子為代表的春秋時代。當時百家爭鳴，成為之後中國學問的本源。盡管重視智慧的思想在東西方形成了統一，但以論證為基礎的數學最終沒能在中國形成。

在這之後的古羅馬時代 ，羅馬人擬定了法律，鑄造了貨幣，在政治和經濟方面飛速發展，但在數學上幾乎沒有什麽成就。阿拉伯人透過經商發展出十進制，為東西方的文化交流做出巨大貢獻。但是，他們將歐幾裏得的以論證為基礎的數學精神拋諸腦後， 數學淪為了貴族子弟接受教育的必修科目 。

除了幾何學，古希臘人還就數論中的質數和無理數進行了深入思考，但令人不解的是，他們沒能想到對實際生活有巨大幫助的十進制。其中緣由恐怕在於數學只有學者才去研究，而他們並沒有著眼於實際生活中出現的新的數學事實。即使有關註的想法，在沒有工業的農耕社會，我認為也找不到可以給數學家靈感的素材。

新的數學相繼誕生

之後經過黑暗的中世紀，文藝復興運動展開，工商業再度興盛，人們生機勃勃，新的數學在歐洲相繼誕生。以文藝復興為契機，「從根源出發，以邏輯的方式推匯出復雜的結論」這一歐幾裏得幾何的精神復活，也對代數產生了影響。韋達（16 世紀）以加減乘除的基本運演算法則——交換律、結合律、分配律為起點將代數學體系化，他也因此被稱為代數學之父。而後，笛卡兒（17世紀）將平面上的點用兩個數碼（座標）來表示，創造出利用代數來研究幾何學的新方法。

韋達和笛卡兒所處的時代可以算是歐洲數學的搖籃期 ，在那之後，以無窮、極限、連續和運動為研究物件，數學開始急速發展，直至微積分學的確立這一偉大成就誕生。這一成就萌芽於古希臘時代阿基米德（公元前 3 世紀）思考的如何避免無窮這一問題，而這引發了離散物件與連續物件之間的矛盾。歐洲數學斬斷了這一思想上的束縛，踏入了一個更加廣闊的世界。契機正是伽利略（16 世紀 ~17 世紀）對天體的研究。

詳細的情形暫且不談，我們繼續微積分學的話題。當時產生了一些精彩絕倫的觀點，比如將曲線看作由「小曲線段（弧）構成，每段弧對應的線段（弦）幾乎（按現在的說法，除去高階無窮小）可以認為是相等的，求出這些小線段長度的和，也就求出了曲線的長度」，還有「運動可以看作無限接近的兩個時間點之間的直線運動，將這些直線運動相加，就可以求出有限時間內物體的位移」等。透過微分求出曲線或運動的微小變化，然後將之求和就是積分。在這裏非常重要的是，把微分看作直線這一點，現在被稱為線性化（linearization）。

這一嶄新的數學領域叫作微分學（differential calculus），與此相對，在此之前的代數方法被稱為有限元分析。與代數方程式相對應，微分方程式誕生了，它非常適合用來表示物理學新領域中的諸多法則。質點系的牛頓方程式、流體力學中的歐拉方程式和拉格朗日方程式等，都是微分方程式。如此一來，數學的內容就變得豐富多樣。這就是 17 世紀和 18 世紀的分析學。在那個時代，復數也在形式上被引入，並被有效利用起來。

古希臘數學的論證精神，在這個時代的數學發展中也扮演著重要的角色，但分析學沒能像歐幾裏得幾何那樣形成一個嚴密的體系。當時的數學家們懷有不安，但還是將直觀的、形式上的推論混進理論中，一味地前進著。

進入 19 世紀後，高斯用平面上的點表示復數，建立了有關復數的嚴密理論，柯西根據 ε-δ 定義確立了連續函數的定義等，逐漸鞏固了分析學的基礎。就這樣，數學成果不斷湧現，我們甚至可以稱 19 世紀為數學的黃金時代 。對數學的邏輯上的探討也日益熱烈，非歐幾裏得幾何也應運而生。進入 19 世紀末，基於魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人的研究，實數的嚴密定義才終於誕生。

進入 20 世紀後，像歐幾裏得幾何這樣嚴密的體系才在數學的全部份支中實作。這裏需要預先強調的是，如果以現代的眼光審視，歐幾裏得幾何絕對稱不上完整。但是，從基本要素（點、直線）和與其相關的基本性質（公理）出發去構築幾何學的思想是非常重要的。

17 世紀到 19 世紀誕生了無數全新的數學理論。 這些理論間具有復雜的關系。對這些理論加以整理，並全部透過基本要素和基本性質推匯出來，會讓人覺得其難度是建立歐幾裏得幾何所無法比擬的，但其實很簡單。整個數學的基本要素是集合，基本性質是集合論的公理這一事實在20 世紀已經被闡明。換句話說， 數學從邏輯上來看就是集合的理論。 引入集合論的康托爾最初也許並沒有想這麽多，但從結果來看確是如此。

邏輯學中有內包和外延的概念。內包是一種性質，外延則是具有這種性質的事物的集合。將性質 A 和性質 B 的外延記為 A'、B' 的話，從 A 可以推出 B，這表示 A' 包含於 B'（A' ⊂ B'），「A和 B」這個性質的外延是 A' 和 B' 這兩個集合的併集（A'∪B'）。關於性質的所有命題都可以用與外延（集合）相關的命題表示。從這一層面去考察數學的性質，其實可以歸為對集合的考察。

好了，集合論（其實是數學整體）的基本要素就是集合。如果有兩個集合，那麽 A 要麽是 B 集合中的元素（A∈B），要麽不是。這就是集合的基本性質。光靠這一點還不能構成數學，我們還需要假設其他幾條基本性質（公理）。這些公理之間存在矛盾會比較麻煩，所以人們對此展開了種種探討，由於專業性太強，我在這裏就不介紹相關內容了。大家只需知道，現在這些公理不存在矛盾就可以了。

我們將沒有元素的集合稱為空集（ ∅ ），也可以記作 0。將0 作為元素的集合 {0} 記作 1，將 0 和 1 作為元素的集合 {0，1}記作 2，以此類推，那麽 3={0, 1, 2}，4={0, 1, 2, 3}。這樣的集合可以透過事先給定的公理得到。這樣一來，我們就可以定義自然數（包括 0）了。從這裏出發，我們也可以定義負整數、有理數、實數、復數，透過座標定義二維空間、三維空間和 n 維空間等。代數系（群、環、域）或拓撲空間、可微分集合域、概率空間等現代數學中的基礎體系都在集合中加入了結構（structure），這個結構透過對映定義，對映結合影像以集合的形式表現出來。因此，所有數學領域的定義或定理都能在集合論的框架中表現出來，定理的證明也能利用集合論的語言來表述。從這一層面上講，數學在邏輯上可以說就是集合論了。

但是一般的數學書中並不會這樣介紹。不過，在對某些推論產生疑問時，只要思路回到集合上，就可以得到答案，能做到這一點的才算得上是數學理論。

如果說能回歸到集合的內容作為數學理論有存在的價值，那麽為了記述科學中的諸多現象而被引入的數學理論，以及引申出來的數學理論也是有價值的，這些理論還能帶來從純粹數學的角度看也很有趣的結論。數學就這樣與科學緊密相連。

以上便是歐洲數學的發展狀況。雖然在中國、印度和阿拉伯，埃及、美索不達米亞的實用風格數學也在蓬勃發展，但基於論證的希臘風格的體系化數學並沒能成為主流，與物理學、工學息息相關的微積分學、分析學也沒能誕生。

上文轉自圖靈新知，節選自【世界是概率的：伊藤清的數學思想與方法】，【遇見數學】已獲轉發特許。

推薦閱讀