為什麽我們在現實生活中會需要三重積分。我們要把它分解開來。我們先來分析一下，為什麽我們需要積分，然後是二重積分，最後是三重積分。
如何理解積分
對於簡單的圖形，我們有現成的公式來求它們的面積。
但我們如何求下面圖形的面積呢？
答案是，我們可以使用積分。描這裏的積分就可以理解為曲線下面的面積。假設我們想求一條奇怪的曲線下面的面積，它看起來像這樣：
用公式法求這樣的面積是很困難的。我們希望用更簡單的形狀去近似或者代替它，比如矩形，面積公式是長乘以寬。那我們為什麽不在曲線下畫一堆矩形，求這些矩形的面積，然後把所有的小矩形面積加起來，來近似計算曲線下的面積，就像這樣：
這是個不錯的近似值，值為所有綠色矩形的面積之和。
每個矩形都有相同的寬度，以使計算更容易。寬度等於一個我們稱之為Δx的量（概念上，Δx是x的變化）。每個矩形的高度是不同的，但它是由函數f(x)給出的，由圖中彎曲的黑線表示。
為了體現高度是不同的，從左邊開始的第一個矩形的高度是f(x)，第二個矩形的高度是f(x)，以此類推。一般來說，第i個矩形的高度為f（x）。
矩形的面積是高度乘以寬度，所以其中一個矩形的面積等於f（x）*Δx。如果我們把所有的矩形面積加起來，我們就可以得到曲線下的近似面積。
但是我們的近似值並不那麽精確，我們可以透過增加矩形的數量使近似值更準確，就像這樣：
註意，Δx現在更小了。而且，這個和比上一個更準確。我們可以繼續把圖形分成越來越小的矩形，使值更加精確。最終，隨著矩形的數量接近無窮大（每個矩形的寬度接近0），近似面積越來越接近實際面積。
這個總和被稱為積分。積分就是這樣寫出來的。
積分符號∫看起來像一個大的S。當一個叫哥特佛萊德-萊布尼茨的德國人發展微積分時，他認為積分是一個無限的和。dx "代表Δx，即每個矩形的寬度，它現在是無限小的。這個 "dx "被稱為微分。
這就是我們如何使用（一重）積分的方法。 我們對1個變量進行積分，在這個例子中是x。 當沿著x軸移動時，我們取一堆無限小的長方形的總和。寬度越小，近似值就越精確。
如何理解雙重積分
對於二維圖形我們求的是面積，對於三維圖形我們求的是體積。像以前一樣，我們對一些三維圖形的體積有漂亮、整齊的公式。
但要求這些三維圖形的體積就難多了。
我們應該如何求出這些奇怪形狀的體積呢？為了求出體積，我們將使用雙重積分工具。比方說，我想求出這個麪包的體積。
我們可以從近似的體積開始。我們可以先把這個大塊的麪包沿著Y軸分成很多片。
每一片都有相同的寬度，我們把這個寬度稱為Δy。如果我們把所有片的體積加起來，就可以得到這個麪包的大致體積。當我們把麪包分成越來越薄的片時（Δy越來越接近於0），麪包體積的近似值會越來越精確。
所以我們只需將所有麪包片的體積相加即可。唯一的問題是，計算一個麪包片的體積並不那麽容易。如果我們看一下單個的麪包片，你會發現它本身還是一種奇怪的形狀。
我們需要對這塊麪包片的面積進行近似計算，我們可以透過把它分成一堆矩形來實作。換句話說，為了求出一片麪包的面積，我們必須像上面那樣進行一重積分。
我們在X軸上進行積分，把小矩形加起來。然後，回到麪包上，我們在Y軸上積分，把所有麪包片的體積加起來。
從本質上講，要求出麪包的體積，我們要求積分的積分：我們求麪包片的和，每個麪包片本身是矩形的和。當然，"積分的積分 "寫起來很麻煩，所以我們就叫它雙重積分，我們這樣寫：
這就是二重積分（雙重積分）。這是什麽意思？
「dy 」是麪包片的寬度，"dx "是麪包片中矩形的寬度。f(x,y)指的是麪包的「頂部」。這是因為麪包在某一點的高度（又稱z座標）是該點的x座標和y座標的函數，所以它是f(x,y)。
如何理解三重積分
到了本文的重點：三重積分。我們已經講過了一重積分和二重積分。希望大家能明白為什麽這些東西會有用處：雖然這不是它們的唯一用途，但它們可以幫助我們求出不規則的二維和三維圖形的面積和體積
你可能會猜到，這裏有一個規律，是這樣的：
你是對的！ 三重積分是用來求一個四維形狀的體積的。這聽起來不可能。你可能會說："我們並不生活在四維空間，四維形狀不存在"。我可以解釋三重積分在現實世界中是如何使用的。要明白這一點，我們需要改變我們對維度的思考方式。
一張照片裏有多少個維度？
讓我們回到二重積分的話題上來。你見過熱成像嗎是用熱像儀拍攝的照片，不同的顏色代表不同的溫度。
照片是二維的，但熱成像照片上的每個點都有一個與之相關的 "熱量"。由於熱量是用數值表示的，我們可說，熱成像照片上的每一個點都有一個與之相關的數碼。
從右邊的圖例可以看出，藍色斑點的熱值可能是 "15"，而較紅的斑點的熱值可能是 "28"。我們甚至可以把這張照片變成三維圖，其中高度（z座標）與熱量相對應。
那麽，這裏有一個問題：我如何求出這整張照片的總熱量？答案是我們用二重積分。我們在x軸和y軸上積分，然後把整個照片的溫度加起來。總熱量等於上面三維圖的體積。
這似乎令人困惑，因為這張照片是二維的，而如前所述，雙積分是用來求三維形狀的體積的。但我們需要改變對 "維度 "的思考方式。 我們通常認為維度是空間維度。然而，一個 "維度 "實際上只是指與一個點相關的數值。一個維度不一定是空間中的一個方向。
現實世界中的三重積分
回到三重積分的話題。比方說，你有一間形狀像盒子的臥室。暖氣口可能只在房間的一個角落，所以熱量並沒有均勻地分布在整個房間。溫度在通風口附近會很高，在與通風口相對的角落會很低，以此類推。房間裏任何一個點的熱量都由某個函數f(x,y,z)給出。
如果我想把房間裏的所有熱量加起來，我該怎麽做？
很明顯，房間裏有三個空間維度。但同樣，溫度也算作一個維度，因為它是一個與點相關的數碼。所以這個問題發生在4個維度上：寬度、長度、高度和溫度。
由於有4個維度，我們將使用三重積分。
讓我們先把房間視覺化。這就是一個三維房間的熱量圖。
如前所述，如果你看這個房間，溫度是盒子內一個點的x、y和z座標的函數。這個函數是f(x,y,z)。
我們將從Z軸上的積分開始，把盒子分成許多平行於地面的「切片」。
乍看起來，我好像把房間分成了一堆二維的切片，但請記住，溫度也是一個維度。我實際上是把房間切成了一堆二維的溫度圖。而正如我們所討論的，二維溫度圖有三個維度。
接下來，我們要對y積分，把熱圖分成許多小片，就像我們對麪包做的那樣
：
最後，我們將把每一個切片沿著X軸劃分成許多小矩形。
這樣，我們可以準確地把這個房間裏的所有熱量加起來。我們沿Z軸將房間分成熱圖，然後沿Y軸將熱圖分成片狀，再沿X軸將片狀分成矩形。我們把這稱為三重積分。它是這樣寫的：
「dz」 是z的變化，"dy "是y的變化，而 "dx "是x的變化。
使用這個三重積分，我們可以求出3維房間裏的總熱量。如果一個 "維度 "可以指空間維度以外的東西，我們就會發現三重積分有很多套用。我們可以求出一些三維物體的總慣性，或者籃球的重力。
結論
簡而言之。就數學而言，一個維度不一定是指空間。它可以指任何數值，如溫度、慣性、或濕度。
所以，我們用三重積分來尋找四維圖形的體積，這乍聽起來沒什麽用。但是，只要我們轉變一下對 "維度 "的思考方式，就會發現四維圖形比看起來更常見。三重積分幫助我們認識和理解這些形狀。
