數學思維的妙處（17）：「我命由我不由天」的數學原理

文/老余

只要持續不斷的觀察所有事件，直到天荒地老，則世界上所有事物都會以固定的比例發生，如果發生了讓人意外的事件，人們會把這起事件認定為既定的宿命。

——雅各布·白努利

數學，是很多人的噩夢。

按道理，我們上學的目的之一是要培養對知識的興趣，但結果好像恰恰相反，學前班的孩子對知識各種好奇，有十萬個為什麽，而高考完的那一刻滿地都是被撕毀的書籍，被特別照顧的就是數學書。

但這並不是你的錯，也不是數學的錯，而是數學老師或者說是應試的問題。我們作為理性人，不能因為別人的錯而放棄學習、運用數學。

因為無論你喜不喜歡它，這個世界的底層執行邏輯，就是數學。

這是規律，不以任何人的意誌為轉移。

本文【數學思維的妙處】這個系列的第17篇，我們來討論下「大數定律」，這個定律對我的影響很大，希望對你也有用處。

一、什麽是大數定律？

這是概率論中的一個基本定理，說的是：當一個實驗隨著重復的次數越來越多，實驗結果的頻率（或者叫次數）會趨向於某個常數值，這個常數值就是事件發生的概率。

不夠通俗，舉個例子：

比如拋硬幣，我們知道每次落定後正反面朝上的概率是各50%，如果只拋10次，基本不會出現正反面各5次朝上的情況（理論上的各50%）。

雖然每次哪一面朝上是隨機的、是偶然的、是不可預測的、是我們無法控制的，但隨著實驗的次數越來越多，最終統計的結果是正、反面朝上的次數（頻率）就會越趨（收斂）近於各50%。

——短期看是隨機的，長期看是確定的，這就是大數定理。

1713年，雅各布·白努利（就是那個著名的白努利實驗的白努利）在數學上證明了「大數定理」，當我看到這個年份，其實有些意外，人類對很多數學概念啟蒙的很早，比如畢達哥拉斯定理，但唯獨在概率或者說在隨機這件事上，是很晚熟的，可見人類是多麽不習慣隨機。

就這麽一個定理，能給我們什麽啟發？

其實很深刻。

我們接著聊。

（二）大數定理與命運

我們總感嘆人生無常或者命運註定，人的命運真是註定的嗎？

看上去確實如此，不然為何那麽多文藝作品總是把「改天換命」作為主題呢，「我命由我不由天」這句台詞，不也引起了無數人的共鳴嘛。

這起碼說明了兩件事：

改命難嗎？

難！

沒有數學之前，我們連命運的定義都無法統一，你看幾千年來，用文學語言來解釋、闡述命運而寫成的書、編成的戲何止車載鬥量。

我們從這些海量作品中學到的，也不過是四點：遇貴人、站對隊、堅持住和運氣好，但這些都是因人因時因地而異，不具有普遍性。所以你看時頭頭是道，做時一腦懵逼。

但用數學的語言來描述，命運其實很簡單，其實就四個字——大數定律。

怎麽說？

白努利證明大數定律是偉大的，有意思的是他在證明的手稿邊上寫了一段話：

只要持續不斷的觀察所有事件，直到天荒地老，則世界上所有事物都會以固定的比例發生，如果發生了讓人意外的事件，人們會把這起事件認定為既定的宿命。

所以，命是什麽？是我們人生中的一次次選擇，就像那一次次拋在空中的硬幣，運是什麽？是我們一次次選擇後拼成的結果。

命運，就是我們一輩子所有選擇的集合。大數定理，是命運的數學原理。

知道了這些又有什麽用呢？

有大用！

因為，我們借此可以主宰自己的命運，可以「我命由我不由天」了。

（三）大數定理，如何指導現實生活？

我看到了兩點：

1、大數定理，能減少了我們的精神內耗

這個時代選擇很多，這是好事，選擇更多意味著我們可以「樹挪死，人挪活」，可以此處不留爺自有留爺處。

但選擇多也是壞事，這會讓我們頻繁挪、頻繁去別處。而一個人的時間和精力是有限的，頻繁的挪，你怎麽可能和原本就在這個行業浸淫的小夥伴競爭？

這正印證我小時候的印象較深的這幅挖水的漫畫。

我們很多時候之所以打幾槍換一個地方，到處去找所謂的風口，大概率是因為不了解「大數定理」：

——在一個行業裏深耕，我們才有機會在這個行業裏「拋硬幣」，只有一次次去拋，只要拋的次數足夠多，頻率就會收斂於概率，你期盼的結果才大概率會出現。

這是定律，與你是否高明動作是否優雅無關。

你看，絕大多數人為何一輩子碌碌無為？

或許不是因為不夠聰慧，而是過於聰慧，剛上這張桌拋了幾次沒有得到想要的，就已經在去找別的桌子的路上了。

他自己的理解可能不是努力的時長不夠，而是之前選的方向錯了，於是成了那個挖井水的人，到處挖，忙得不可開交，過年連家人都沒時間陪，但我們知道，他就是漫畫裏挖水的那個人，註定得不到想要的結果。

這是第一點，既然已經選了這個行業，且這個行業沒有被淘汰，那就堅定信心往前走，隨著「拋硬幣」的次數越來越多，頻次必然越來越接近於固有概率。

即使這個行業整體沈沒了，我們的選擇也要與之前的沈澱有相關性，千萬別相信什麽「心若在夢就在，只不過是從頭再來！」

那是歌詞，不是現實，你讓劉歡從頭來一次試試？凡是歌裏提倡的，都是有坑的，都是希望你來填的，別犯傻。

2、大數定理告訴我，何事驚慌？

我們來做個遊戲：

下面斜坡上高低不同的位置有三個球，分別滾下，滾到右側平面的終點用時最短即獲勝，你覺得哪個球會贏得比賽？

表面上看，3號藍色因為離終點最近，所以直覺上3號應該贏得比賽，但實際情況是，只要這個斜坡是「等時曲線」，1、2、3號到達終點的時間是一樣的。

註：在「等時曲線」上，不同位置的球到達終點的時間一樣，由荷蘭數學家惠更新在1673年發現。

等時曲線還有一個特性，就是球從這條曲線的這個點滾下去，比其他任何曲線和直線滾下去的時間，都最短的。

比如1號球，從同等高度的等時曲線（實線）往下滾，就比從直線（虛線）上滾到終點用時少。

那這個時間是多少呢？

直接給答案，t=π ，你看，「π和g」（g是重力加速度）都是常數，所以時間只與「r」有關。

這意味著，只要這個球在這條賽道的「等時曲線」上，無論它從哪個位置、什麽高度出發，他到達終點的用時是最短的。

這和我們的職場賽道是一樣一樣的，當我們進入一個行業，重要的不是埋頭去努力去堆積一萬小時定律，而是要先擡頭去找那條「等時曲線」，通俗地說，就是不要用戰術的勤奮掩蓋戰略上的懶度，先找到實作目標的最短路徑。

耐心找到這條曲線，不要著急，過程中遇事不要驚慌，因為你知道，要是運氣好，你期待的結果會來得比較早，即使運氣不咋地，你也很篤定結果最終會到來。

既然事情的發展有自己的內在規律，那我們就把自己能掌控的事做好，把不能掌控的事交給規律，交給大數定律。「急、慌」等情緒不僅對於事情的發展沒有幫助，還有可能適得其反，慌亂之中亂動作，走錯步出錯棋。

埃隆馬斯克送到太空中的那輛特斯拉跑車，駕駛室螢幕上就寫著「Don’t Panic（不要驚慌）」。

（四）結語

天地不仁以萬物為芻狗。你有你的情緒，但世界的執行是冷酷的，是由各種冰冷的定律組成的。

人類社會，就是一個大型的白努利試驗場，對於冷面的命運之神，每個個體就是她手裏的那一枚枚硬幣，少部份人會受到命運之神的青睞，他們一出生就在羅馬，但絕大部份人，一出生註定就是騾馬。

但萬幸，現在留給我們這些絕大多數人的，還有「選擇」與「時間」。

但只要有這兩樣，我們就能去探尋人生的概率，人生無常，但我們仍能從中發現一些「有常不變」的東西，英國作家白哲特說：「生活是概率的學校，在這所學校裏，我們每個人不應該甘心當一個被扔來扔去的骰子。」

2023年，樓市有巨大的上漲空間，股市給我們埋下了巨大的上漲希望，職場也是靈活就業的人越來越多，很多人說24年也不要抱有太大期望，我不敢說太多。

在【樂隊的夏天】的第一季裏，九連真人的一首歌讓我印象深刻——【莫欺少年窮】，為何莫欺少年窮？

因為少年們最大的優勢，就是擁有從「頻次收斂到概率」過程所具備的核心因素：

——時間。

（完）