1827年，植物學家羅拔·布朗在研究水中懸浮的花粉顆粒時，發現它們表現出一種隨機的顫動運動。進一步的觀察和實驗表明，這種現象不僅限於花粉顆粒，其他小顆粒在水中懸浮時也會出現相同的運動。這種運動被認為是由某種非生物的因素引起的。這一發現引起了數學家的興趣，他們基於這些觀察結果發展了一套理論，用以描述這種顆粒運動的性質和規律。這套理論被稱為 布朗運動（ Brownian Motion ） ，以紀念羅拔·布朗在這一領域的貢獻。
布朗運動的理論，起初只是描述水中微小顆粒隨機運動的現象，後來卻發展成為數學領域中關於 隨機過程（ Stochastic Processes ） 的一個重要分支。這個理論的影響達到頂峰是在1905年，那時愛因斯坦利用它來支持原子存在的假設。當時關於原子——宇宙中最小粒子的本質，科學界存在廣泛的爭議。愛因斯坦的工作利用布朗運動提供了關於原子存在的關鍵證據，這在科學上進一步強化了原子理論的基礎。
這實在是科學上的一個巨大跨越！為了充分理解花粉顆粒的觀察是如何引領我們確認原子理論的，首先需要對布朗運動有所了解。因此，計劃在接下來的內容中詳細介紹布朗運動的基本原理，包括其背後的統計學基礎。此外，還將探討愛因斯坦1905年發表的一系列具有深遠影響的論文，這些論文對布朗運動的理解作出了重大貢獻。整個討論將覆蓋從基礎知識到更高層次的理論分析，展示了科學理論發展的深度和廣度。
隨機花粉遊動
在觀察到花粉顆粒的顫動運動後，羅拔·布朗進行了各種實驗，並對他觀察到的情況做了詳細的記錄。
解釋布朗運動的復雜性可以透過簡化到一個維度的數學模型來實作。設想自己站在一條無限長的直線上，手裏有一枚硬幣。每次拋硬幣，根據結果是正面還是反面，你就向左或向右邁出一步，這兩個方向的概率各占50%。透過重復這個動作，你會在這條直線上隨機地移動。記錄下每次移動後你相對於起始點的位置，可以用一個圖表來表示，其中x軸代表你走過的步數，y軸顯示你與起始點的距離。這個簡單的範例有助於我們理解布朗運動這種更為復雜的隨機運動模式的基礎。
在考慮這個隨機行走模型時，數學上有一些有趣的點需要討論。通常，拋擲硬幣的結果會大致均勻分布在正面和反面，這暗示著按照這種方式隨機行走，平均而言，人應該會保持在接近起始點的位置，因為左右移動的次數大致相等。但由於每一步都是完全隨機的，所以實際上無法精確預測任何時刻的具體位置。
然而，僅僅考慮平均回到起點這一點可能對理解整個隨機行走過程不夠充分。因此，可以采用一種不同的方法來分析這個問題。如果我們把向左和向右的移動看作是相同的，並且只關註從起點計算的總移動距離，我們就可以用更高級的數學方法來得到更詳細的結果。這種方法可以讓我們從一個新的角度理解隨機行走過程的本質，從而得到對這一隨機現象更全面的認識。
這個方程式有點復雜，讓我們來解釋一下它的含義。我們的函數 D(n) 只是告訴我們距離中心（D）的距離，作為所走步數（n）的函數。對此，我們將左和右視為同一個方向。所以向左走五步與向右走五步被視為相同。如果我們不這樣，那麽方程式的右邊將是零，我們就得不到任何有用的東西。
方括弧<>很關鍵。 這代表我們正在計算的是一個期望值。期望值在統計學中非常重要，它代表在多次隨機事件中某個特定量的平均水平。由於隨機行走本質上是不可預測的，我們無法為單次事件給出精確的數學運算式。但是，我們可以確定在大量重復嘗試的情況下，這個隨機過程的平均結果是什麽 。這也被稱為 均方根平均距離 。
方程式右側的結果可能會讓人意外。考慮一個例項：進行一個涉及拋硬幣決定方向並列走五步的實驗，重復這個實驗一百萬次，每次都從中心出發，並且記錄每次與出發點的距離。根據相關數學公式，這些實驗的平均距離結果應該是行走步數（5步）的平方根，大約是2.2步。這種計算方法適用於任何行走步數，平均距離可透過計算步數的平方根來估算。這反映了在大量重復實驗中，盡管每次實驗結果可能差異很大，但平均來看，行走的距離與步數的平方根呈正比關系，這是隨機行走特有的一種統計規律。
這一發現雖然引人入勝且可能與人們的直覺不太一致，但它基於一個非常理想化的假設。在這個假設中，每一步行走都被認為是完全隨機且獨立的，這種情況雖然有助於簡化問題，但並不完全符合現實世界中更加復雜的情形，特別是在描述原子級別的現象時。因此，為了使這種模型更貼近於實際物理世界，特別是在原子理論方面，需要向模型中添加更多復雜的要素。
多維度
當羅拔·布朗最初註意到布朗運動這一現象時，他正在研究水面上漂浮的微小顆粒的行為。這些顆粒的運動似乎是完全隨機的，當觀察時間足夠長時，它們的運動軌跡顯得異常復雜和無序。不過，布朗觀察到的花粉顆粒與僅在四個主要方向上移動的簡單模型不同，它們實際上能夠向任何方向移動。
可以從數學上證明，期望距離值也是 n 的平方根，就像在一維情況下一樣。事實上，無論維數多少，期望距離始終是 n 的平方根。
在探索隨機行走問題時， 一個特別引人註目的方面是粒子回到其出發點的可能性 。特別地，數學家們感興趣於了解在隨機移動的過程中，粒子最終返回其起始位置的概率是多少。喬治·波利亞在這方面做出了重要貢獻，他證明了在二維空間中進行隨機行走時，粒子最終返回其起點的概率非常高，幾乎可以確定會發生。但是，情況在三維空間中有所不同，粒子回到起點的概率降至大約34%。並且，他還發現隨著空間維度的增加，粒子回到其出發點的概率會進一步降低。 有一個著名的參照很好地總結了這個結果：
一個醉漢會找到回家的路，但一個醉鳥可能永遠迷失
我們現在有了一些數學公式來描述花粉顆粒中看到的這種隨機運動。這些方程式告訴我們很多關於「是什麽」的資訊，並提供了描述發生了什麽的數學方法。然而，我們對「為什麽」一無所知。我們通常會期望這些顆粒靜止不動，或者最終由於摩擦而減速並停止。是什麽導致了這種顫動運動？
原子的證明
這就是愛因斯坦出場的地方。透過一些巧妙的數學，他努力創造了一個預測布朗運動的方程式。為此，他想象數百萬個微小顆粒，也就是原子，撞擊較大的花粉顆粒。他所采用的推理是相當抽象的，是他著名的「思想實驗」之一的例子。在他的設定中，這些原子從各個方向撞擊顆粒，但在每個時間間隔內，總會有某種不平衡使得較大的顆粒稍微移動一下。隨著時間的推移，這種效應創造了布朗在花粉顆粒中觀察到的顫動運動。
這個模擬展示了微觀水分子全部撞擊較大的花粉顆粒。左邊，我們可以看到所有這些運動導致花粉顆粒緩慢移動。右邊展示的是透過顯微鏡看到的情景，因為水分子太小了，看不見。看起來很像之前看到的顫動！
愛因斯坦從基本原理出發，思考了一個花粉顆粒在不斷被原子撞擊的情況下會移動多遠。在他1905年的論文中，他得出了以下結論：
這裏，我們用 t 表示時間。常數 A 取決於花粉顆粒的大小和它懸浮的液體類別。註意到這個方程式的結構與我們上面得到的隨機行走方程式非常相似。我們只需要考慮系統的一些物理特性。
當然，僅僅這個方程式本身並不能證明原子的存在。它需要透過實驗來驗證。這項工作由物理學家讓·佩蘭在愛因斯坦的論文發表後不久進行，佩蘭因其工作而獲得了物理學諾貝爾獎。
使用布朗運動這樣一個晦澀的現象，微小的微觀原子的存在終於得到證明，解決了一個長達一個世紀的爭論。
