物理異端：彈丸實際上不會產生拋物線

隨著 新學年的開始，新一批高中生和大學生將首次學習物理學，從力學和運動開始。而且，就像數百年來的情況一樣，追溯到牛頓時代，學生們將繼續學習幾代以前的學生所學到的相同神話：任何在地球重力場中投擲、射擊或發射的物體都會在撞擊地面之前追蹤出拋物線。如果您忽略風、空氣阻力或任何其他地球物體的影響等外力，這個拋物線形狀描述了物體的質心如何非常準確地移動，無論它是什麽或其他因素。

但根據萬有重力定律——無論你使用牛頓的萬有重力定律還是愛因斯坦的廣義相對論——拋物線對於一個受重力束縛的物體來說都是一個不可能追蹤的形狀。數學就是禁止它。如果我們能設計出一個足夠精確的實驗，我們就會測量出地球上的拋物線與我們在課堂上得出的預測拋物路線徑的微小偏差：在人類的尺度上是微觀的，但仍然很重要。相反，扔到地球上的物體會沿著橢圓軌域劃出一條類似於月球繞地球執行的軌域。這是意想不到的原因。

如果要對地球表面的重力場進行建模，可以做出兩個簡化假設。

1. 您可以假設地球（至少在您附近的局部區域）是平坦的，而不是彎曲的。

2. 您可以假設地球的重力場相對於您當前的位置 直接指向下方 ，而不是指向太空中的同一「點」，即使您的位置發生了變化。

因此，任何時候您投擲和釋放一個物體時，釋放的物體都會進入稱為自由落體的情況，無論它擁有的初始軌跡（包括角度和速度）如何。

進一步假設我們忽略了除重力之外的所有力——沒有摩擦力、沒有阻力/空氣阻力、沒有升力或滑行效應等——那麽就很容易計算出這個物體的運動將如何變化。在平行於地球表面（水平）的方向上，任何彈丸的速度都將保持恒定和不變。然而，在垂直於地球表面的方向（垂直）上，你的彈丸將以 9.8 m/s² 的速度向下加速：地球表面重力產生的加速度。如果你做出這些假設，那麽你計算的軌跡將永遠是拋物線，與全球物理課上教授的內容完全一致。

然而，在上面所做的兩個假設中，事實證明它們都不完全正確。地球可能看起來是平的——與平的地球沒有區別，以至於我們無法在大多數彈丸覆蓋的距離上檢測到它——但現實是，地球作為一個整體，呈現出球狀。即使相距僅幾米，完美平坦的地球和彎曲的地球之間的差異也會在 1,000,000 分之一的水平上發揮作用：當然，這是一個很小而微妙的水平，但這個水平可以透過足夠精確的測量器材來感知。

事實證明，我們兩個近似值中的第一種對於單個彈丸的軌跡並不重要，就像你自己後院的局部變化使得僅從如此小區域的地形來測量地球的曲率相當困難，如果不是不可能的話。

另一方面，第二個近似值非常重要。從其路徑上的任何地方，彈丸並不是真正在垂直方向上「筆直向下」加速，而是朝著地球中心加速。在水平方向上僅覆蓋幾米的相同適度距離的彈丸將經歷人們可能認為的「垂直向下」與「朝向地心」之間的角度差異，而這種差異再次在 1,000,000 分之 1 的水平上發揮作用。如果我們想從技術上了解它，這是地球不是平的，而是具有球狀形狀的結果。

對於您在自然界中可能遇到的典型系統，類似於：

與拋物線的偏差將出現在相對模型級別：只有幾十到一百微米，這比單個草履蟲的長度還要小。但真正的軌跡既具有教育意義，又令人著迷，因為它是由約翰內斯·開普勒 （Johannes Kepler） 在牛頓出現前半個多世紀得出的。

就像月球一樣，任何在重力作用下與點狀質素結合時開始運動的彈丸都會劃出一個橢圓軌域，其中地球中心是該橢圓的一個焦點。這是開普勒的第一個行星運動定律，也是第一個正確描述行星圍繞太陽的運動以及衛星圍繞行星的運動等等的日心模型。與月球相反，地球上的彈丸唯一的困難是地球不能再被視為點狀，因為地球表面本身會擋路。因此，人類觀看彈丸只能看到橢圓的一小部份：略微高於地球表面的部份，到達其軌跡的峰值（在天體力學中稱為遠日點），然後落回地球中心，直到它再次撞擊地球表面。

然而，每次地球表面擋住我們的彈丸時，問題就會再次出現。如果彈丸完全反彈，它將建立一個全新的橢圓片段供其軌跡跟隨，這也可以很好地用拋物線來近似。任何彈跳的球，無論是像籃球一樣的圓形還是像美式橄欖球一樣形狀不同的球，都會在每次彈跳之間看到它的質心勾勒出一組拋物線（或近乎完美的拋物線）。雖然是重力決定了它的形狀，而它的作用就像一個彈丸，但重力與彈丸每次撞擊地面時軌跡都會改變的原因無關。

發生這種情況的原因完全不同，我們大多數人認為這是理所當然的：地球是由相同類別的東西構成的，即正常物質，與典型的彈丸是用的。正常物質通常由質子、中子和電子組成，不僅會受到重力，還會受到核力和電磁力的影響。正是電磁力導致了我們在由原子組成的物體之間經歷的典型相互作用，從而實作了彈性和非彈性碰撞，並防止我們的彈丸簡單地滑過地球並勾勒出完整的橢圓。

然而，我們可以透過想象我們有一個東西作為我們的彈丸，它與正常物質沒有任何相互作用（除了純粹的重力相互作用）。也許它可能是一個低能微中子，它與物質的橫截面可以忽略不計。也許它可能是一個暗物質體子，它可能有也可能沒有自相互作用，但它與正常物質的相互作用程度受到嚴重限制，這與完全沒有非重力相互作用（和零橫截面）一致。無論哪種情況，一旦我們釋放了這個彈丸，它只會受到重力，並且只會在重力的作用下穿過地球本身的表面和內部。

然而，如果你預計這個粒子會變成一個閉合的橢圓，並在大約 ~90 分鐘後回到它最初被投擲的地球表面上方，那麽你就做了另一個不太正確的近似值。當我們計算軌域軌跡時，我們將地球視為一個點：它的所有質素都直接位於其中心。當我們計算衛星、空間站甚至月球的軌跡時，這很好。但對於穿過地球表面的粒子來說，這種近似值不再有用。一旦你進入地球的內部，就會發現它是一個極其復雜的實體。

從重力的角度來看，我們對待地球的方式與我們對待等於整個地球質素的「點質素」相同，但其位置是由地球本身的中心（或者更嚴格地說，質心）給出的。只要您位於形狀像球體（或橢球體）的質素塊的外部，在重力的影響下，所有這些質素都會在功能上將您吸引到物體的中心。然而，如果你位於那個質素內，那麽事實證明，該質素的所有部份，如果位於你當前位置的外部，或者比你現在的位置 「外部 」更遠，都會產生抵消的重力效應，只有那個質素的更內層部份才會在重力上吸引你。

換句話說，你，一個受到像地球這樣的行星重力影響的物體，只能感覺到位於你內部的地球部份的重力效應，假設你所在位置外部的一切都是球對稱的。在電磁學中，這是高斯定律的公證結果;在重力物理學中，牛頓首先為他的萬有重力定律證明了它，並且作為（相關的） 伯克霍夫定理 的結果，即使在廣義相對論的背景下也被證明是正確的。從實際角度來看，這意味著一旦你開始從地球上墜落，你所經歷的總內質素的重力會越來越小。

這張四顆類地行星（加上地球的衛星）的剖面圖顯示了這五個世界的核心、地幔和地殼的相對大小。盡管地球的直徑只比金星大 5%，但它的質素比水星、金星、火星和月球的總和還要大。如果你能像一個不與地球發生電磁相互作用的彈丸一樣穿過地球內部，那麽當你從一個內部層過渡到另一個內部層時，你會看到你的軌跡會略有變化。

雖然當你作為一個彈丸，完全在地球表面之外時，你的真實軌跡和理想化的橢圓之間沒有區別，但當你從地球上墜落時，你的實際軌跡形狀會開始發生顯著變化。它將變為：

當你穿過各個層之間的界面時，包括地幔-核心邊界和外-內核邊界，你會註意到不僅你的軌跡有平滑的變化，而且你描繪的形狀也有一些不連續的 「扭結」，對應於地球內部的各個層（密度不同）。

你不應該完全從地球的另一側重新出現，但你確實會大量地穿過地心，在地幔甚至地殼中轉身，這取決於一些不太容易計算的微妙影響。不僅不同深度的不同密度不完全清楚，而且地球內部不同層的旋轉速度也存在一些不確定性。即使你考慮一個質素穿過地球，根據它所走的確切路徑，動力學摩擦或單個粒子之間的力也開始發揮作用。

當一個粒子經過其他大質素粒子時，它會受到重力吸引。如果一個粒子加速超過所有其他粒子，它會使它們的軌跡偏轉到它剛剛經過的地方，這具有減慢原始粒子運動的凈效果。根據原始彈丸相對於地球自轉和內部運動的方向，這可能會影響任何粒子穿過地球的軌跡，其影響量不可忽略。

在單個軌域的時間跨度內（仍然需要大約 85-90 分鐘左右），這可能會產生足夠大的效果，以至於彈丸不會返回其原始起點。如果我們結合以下效果：

彈丸不會形成閉合的橢圓，而是會返回到一個由其起點偏移最多 ~10 米的點。在足夠長的時間和足夠長的距離內，即使是百萬分之一的影響（記住，地球的直徑超過 12,000 公裏）也可能非常大。

對於大多數實際套用，特別是當彈丸在地球表面上方僅飛行幾秒鐘時，將彈丸視為僅具有拋物線軌跡並不會影響您的精度。但是，如果您：

你不應該再把地球的重力場看作一個常數。一切都被地球的重力加速，但並不是任何純粹、絕對意義上的真正「向下」。相反，重力加速度指向地球中心，從而能夠顯示彈丸的真實軌跡——橢圓。

研究地球外部和地球內部的各種影響，也可以告訴我們何時以及在什麽情況下做出這些考慮是重要的。對於大多數套用來說，空氣阻力是一個比地球內部各層或動力摩擦等任何影響都要大得多的問題，將地球的重力場視為常數是完全合理的。但對於某些類別的問題，這些細微的差異確實很重要。我們可以自由地做出我們選擇的任何近似值，但是當我們的準確性超出可接受的閾值時，辨識真正起作用的全套內容就變得至關重要。