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數學家格奧爾格·康托爾、作家豪爾赫·路易斯·波赫士以及波赫士短篇小說【阿萊夫】的主人公卡洛斯·阿根蒂諾·達內裏在這裏被視為一個謎題的三塊拼圖。我們將這三塊拼圖拼在一起，就會發現一個驚人的數碼。
1. 格奧爾格·康托爾
格奧爾格·費迪南·路德維希·菲利普·康托爾（1845-1918年）出生於俄羅斯聖彼得堡，但他一生的大部份時間是在德國度過的，11歲時隨家人遷居德國。他被認為是有史以來最偉大的數學家之一，他看待數學的方式令人驚嘆。他認為數學的本質是自由，並建議將純數學稱為自由數學[13]。他催生了集合論，大衛·希爾伯特（David Hilbert）將集合論描述為：
康托爾為我們創造的天堂，沒有人能把我們驅逐出去。[16]
康托爾認為，不可能只有一個無窮大，但一定有比其他無窮大更大的無窮大。在集合論中，數被視為集合，為了區分它們，他定義了無窮數。他還談到了絕對無窮（用Ω表示），他將其與上帝相提並論，並認為絕對無窮無法用數學形式化。康托爾將「小的」無限數（相對於上帝而言是小的）命名為阿萊夫0、阿萊夫1、阿萊夫2（表示為ℵ0、ℵ1、ℵ2）等。此外，他還定義了它們之間的運算。
盡管康托爾塑造了一個天堂，但他的身心卻生活在地獄中，因為他與精神疾病作鬥爭，他在哈雷的一家精神病院度過了最後的歲月。此外，在1901年，他的天堂似乎坍塌了，因為伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）指出，他的集合論本身就包含一個悖論。事實上，康托爾的理論並不排除存在一個包含所有不屬於自己的集合的集合：
R = {S ：S是集合，且S不是S的元素}。
這個集合屬於它自己嗎？任何答案都會導致矛盾，這一悖論的發現使數學界對康托爾理論的穩健性產生了懷疑。後來，數學家恩斯特·澤梅洛（Ernst Zermelo）、阿道夫·亞伯拉罕·哈列維·法蘭爾（Adolf Abraham Halevi Fraenkel）和艾拔·索拉夫·斯科萊姆（Albert Thoralf Skolem）對集合論進行了新的公理化，成功地將康托爾的天堂從悖論中解脫出來。然而，康托爾的生命卻沒有得到挽救，今天，月球黑暗面上的一個隕石坑就是以格奧爾格·康托爾的名字命名的，以紀念他的黑暗命運。
2. 波赫士的數學
豪爾赫·法蘭西斯科·伊西多羅·路易斯·波赫士·阿塞韋多（1899-1986 年）出生於阿根辛布宜諾斯艾利斯，卒於日內瓦，一生留下了不朽的文學遺產，其中包括充滿創造力、想象力、夢想和數學的奇妙作品。1971年，當諾貝爾經濟學獎和圖靈獎獲得者赫伯特·西蒙采訪他時，波赫士說：
「我的許多想法都是對的：的確，我的許多想法都來自於對邏輯和數學書籍的閱讀。但話雖如此，每當我開始閱讀這些書籍時，我都會覺得它們打敗了我，我還沒能完全理解它們。[24]」
我讀過波赫士的許多作品，我相信他實際上能夠充分理解許多令他著迷的數學概念。他利用這種能力創造了奇跡。波赫士的做法與【愛麗絲漫遊奇境記】[11] 的作者、數學家路易士·卡羅爾的做法相似。也就是說，他推倒了人類築起的一堵將數學與文學隔開的墻。
關於波赫士在寫作中運用數學的文獻浩如煙海（參見[1, 2, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25]）。他的作品中經常出現的兩個數學概念是悖論和無限。關於時間的無限性，他說：
永恒是一種絢麗的藝術，它把我們從時間流逝的難以忍受的壓迫中解放出來，哪怕只是片刻。[4]
他在【卡夫卡和他的先驅們】[9]、【阿基里斯和烏龜的永恒競賽】[3]和【烏龜的化身】[5]中，從哲學和數學的角度討論了阿基里斯和烏龜的悖論。在【死亡與指南針】[7]中，他利用了這一悖論，但並未明確提及：
沙爾拉赫，當你以其他化身追捕我時，在 A 處假裝犯罪（或確實犯罪），然後在距離 A 處8公裏的 B 處第二次犯罪，然後在距離 A 和 B 處4公裏的 C 處第三次犯罪，在這兩個地方的中途。稍後在 D 處等我，D 處距離 A 和 C 兩公裏，再次位於兩者的中途。
波赫士在接受赫伯特·西蒙（Herbert Simon）[24] 的采訪時也說過，他從羅素的數學著作中獲得了靈感。因此，羅素悖論經常以各種形式出現在波赫士的作品中也就不足為奇了。例如，波赫士多次提到[22]一幅地圖，約西亞·羅伊斯在其著作【世界與個人】[23]中將其描述為一幅在英格蘭的一部份土地上完美描繪的英格蘭地圖。這幅地圖如此精確，以至於它包含了一幅地圖的地圖，而這幅地圖又包含了一幅地圖的地圖，如此等等。這種自指地圖讓人聯想到羅素悖論；我們在波赫士的【巴別圖書館】[6] 中也能找到類似的想法：
像所有圖書館的人一樣，我年輕時也曾旅行；我曾漫步尋找一本書，也許是目錄中的目錄；
以及【阿萊夫】[8]。這就是我們現在要進一步分析的故事1。
3. 卡洛斯·阿根蒂諾·達內裏
波赫士的短篇小說【阿萊夫】[8]中只有兩個活躍的人物： 一個是波赫士本人，另一個是被波赫士描述為狂妄自大的詩人卡洛斯·阿根蒂諾·達內裏。卡洛斯小時候在地窖裏發現了一個「阿萊夫」：
空間中包含所有其它點的點之一。……世界上唯一一個所有地方都在的地方……從每個角度看，每個地方都清晰可見，沒有任何混淆或融合。
自從發現了它，卡洛斯就對它著了迷。因為他能從阿萊夫看到宇宙的每個角度，所以他想寫關於世界每個角度的詩句。但波赫士並不欣賞卡洛斯的詩歌和個性。他甚至無法完全理解他們，直到有一天，他在卡洛斯的地窖裏親眼看到了阿萊夫：
我從每一個點和角度看到了阿萊夫，在阿萊夫中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫，在阿萊夫中看到了世界；我看到了自己的臉和自己的腸子；我看到了你的臉；我感到頭暈目眩，流下了眼淚，因為我的眼睛看到了那個秘密的、猜想中的物體，它的名字是所有人都知道的，但卻沒有人看過--無法想象的宇宙。我感到無限驚奇，無限憐憫。
4. 波赫士的阿萊夫和康托爾的天堂
盡管波赫士的「阿萊夫」在概念上與康托爾的「阿萊夫數」大相徑庭，但波赫士顯然想向康托爾的集合論致敬。這不僅體現在名稱的選擇上，也體現在對羅素悖論的參照上（在阿萊夫數中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫數，在阿萊夫數中看到了世界），還體現在波赫士對這一主題的了解上。在短篇小說的結尾，波赫士在談到包含所有其他點的那個點的名字時，也直接提到了康托爾的著作。他說，他從卡洛斯那裏聽說了「阿萊夫」這個名字，但他不知道卡洛斯是從哪裏知道這個名字的。他說，ℵ是希伯來字母表的第一個字母，也是 Mengenlehre（德語，集合論）中用來表示無窮級數的字母。有趣的是，康托爾的名字並沒有出現在這篇短篇小說的西班牙文原版中，但卻出現在由諾曼·杜文·迪·喬瓦尼與波赫士合作轉譯的英文版中。
我也捫心自問： 如果波赫士想讓卡洛斯·阿根蒂諾·達內裏以某種方式詮釋格奧爾格·康托爾，那會怎樣？卡洛斯是發現阿萊夫（他說是我的阿萊夫）的人，他對阿萊夫如此著迷，以至於變成了一個瘋子。康托爾是「阿萊夫數之父」，他曾與精神健康問題作鬥爭。但是，康托爾的人生並沒有一個美好的結局，而卡洛斯在波赫士的故事中確實從他的問題中恢復過來了（我不會告訴你他是如何恢復過來的）。我認為波赫士也想給坎特的人生一個圓滿的結局。我想，在波赫士的這些篇章的結尾，康托爾又找到了他作品中一貫的自由。
參考文獻
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[4] Jorge Luis Borges, Historia de la eternidad , Viau y Zona, Buenos Aires, 1936.
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[6] Jorge Luis Borges, 「La biblioteca de Babel,」 in El Jardín de senderos que se bifurcan (Sur, 1941).
[7] Jorge Luis Borges, La muerte y la brújula , Sur, 1942.
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[9] Jorge Luis Borges, Otras inquisiciones , chapter Kafka y susprecursores, Sur, 1952.
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[15] N. Katherine Hayles, Chaos and order: complex dynamics in literature and science , University of Chicago Press, 1991.
[16] David Hilbert, 「Über das unendliche,」 Mathematische Annalen , Volume 95 (1926), pages 161–190.
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[19] Ema Lapidot, Borges and Artificial Intelligence: An Analysis in the style of Pierre Menard , Peter Lang Inc., International Academic Publishers, 1991.
[20] Guillermo Martínez, Borges y la matemática , Seix Barral, 2006.
[21] Floyd Merrell, Unthinking Thinking: Jorge Luis Borges, Mathematics and the New Physics , Purdue University Press, 1991.
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[23] Josiah Royce, The World and the Individual , Peter Smith Pub Inc, 1976.
[24] Herbert Simon, 「Borges–Simon: detrás del laberinto,」 Revista Primera Plana , 1971.
[25] Allen Thiher, Fiction Refracts Science: Modernist Writers From Proust To Borges , University of Missouri Press, Columbia, 2005.
[26] Raffaella Mulas, The Aleph of Borges and the Paradise of Cantor
青山不改，綠水長流，在下告退。
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