如果十年前你問我能否建立一個涵蓋所有物理現象的形式系統，我可能會斷然否定，畢竟並非所有物理概念都能被清晰、精確地定義。但如果現在問我，我的答案卻是肯定的。我現在確實認為，我們可以為所有物理學建立一個形式系統。是什麽讓我改變了看法呢？首先，在我的研究過程中，我竟然無意中踏上了構建這樣一個系統的道路。
雖然最初我並未意識到這一點，但最終發現，我一直在做的正是這件事。既然我已經在做了，那就意味著這件事並非天方夜譚。那麽，我現在是否認為所有物理概念都能被清晰、精確地定義呢？答案依然是否定的。物理學博大精深，我們不可能做到這一點。
問題的關鍵在於，我們要找到哪些部份可以被納入形式系統，哪些部份最好留在形式系統之外。這實際上是在探索物理學和數學之間的邊界，而這正是本文想要探討的主題。我想與你分享我在這方面的學習心得，以及我多麽希望十年前就有人為我指點迷津。或許你會覺得這些內容饒有趣味，或許你會想要參與我的研究，又或許這些內容能為你的研究帶來啟發。但無論如何，當你試圖為物理學建立一個形式系統時，這些都是你必須銘記於心的。
首先，我們至少要對「形式系統」的概念有一個基本的了解。你可以將形式系統想象成一座由三個主要部份構成的建築。第一部份是構成形式系統的基石——基本概念的集合，這些基本概念是無需借助其他概念進行定義的，如同建築的地基。例如，在歐幾裏得幾何中，「點」和「線」就是基本概念。我們只是假定它們存在，而無需解釋它們究竟是什麽。
我們只是說它們存在。接下來，我們需要一種形式語言來表達關於這些基本概念的陳述，如同建築的框架。這種形式語言本質上是一套符號和規則，規定了如何將這些符號組合成合法的句子，如同建築的藍圖。例如，我們可以用大寫字母表示點，用特定的符號表示線段。
我們還會用到一些表示謂詞的符號，以及一些表示邏輯連線詞（比如「與」、「或」等等）的符號。所以，形式語言的核心在於如何操作這些符號，以及這些符號的具體含義。透過這些規則，我們就可以用形式語言書寫句子了，進而就可以表達形式系統的第三個組成部份——公理。公理是關於基本概念的陳述，我們將其視為真理，如同建築的梁柱。例如，在歐幾裏得幾何中，其中一條公理是：任意兩點之間存在一條直線連線它們。同樣，如果你要建立一個形式系統，那麽這條用自然語言表達的公理需要用形式語言中的符號來表達。所以，這就是形式系統的基本構成。你必須明確這三個部份才能定義一個形式系統，如同建造一座建築需要地基、框架和梁柱。
如果我們考察數學的基礎，你會發現所有數學分支都有其形式系統，其中最常見的是基於集合論的系統。在這個系統中，基本元素是集合。通常，我們會選擇一種形式邏輯系統，例如一階邏輯。然後，我們會定義一組公理，例如策梅洛-法蘭爾公理，有時還會加上選擇公理。有了這些基礎，數學家就可以在其上構建所有其他的數學理論，如同在堅實的地基上建造高樓大廈。
所以，這構成了所有數學的形式系統的基礎。那麽問題來了，如果我們想對物理學做類似的事情，我們能做到嗎？如果可以，我們應該怎麽做？我們如何將物理學中那些紛繁復雜的現象，例如各種實驗等等，納入一個形式系統並進行量化分析呢？這就好比我們要用數學的語言來描述整個物理世界。
當然，無論我們采用何種方法，在一個形式系統中，我們始終要關註三個核心要素：基本概念、形式語言和基本公理。因此，我們必須弄清楚如何確定這三個要素，如同在建造物理學大廈之前，我們需要確定地基、框架和梁柱。對於形式語言來說，這並不是一個難題。我們可以直接使用一階邏輯，或者其他任何已有的數理邏輯系統，這都不會有問題，如同我們已經有現成的建築材料。
真正的挑戰在於如何確定基本概念和公理，因為它們必須與物理現實相符，如同地基必須堅實可靠。我們的目標是，找到能夠描述特定物理現象、物理系統或物理情境的合適的概念和公理。然後，根據我們想要在形式系統中表達的物理規律，確定合適的原始概念和公理，以便能夠準確地描述我們想要研究的物理現象。這就好比我們要根據不同的地形和建築需求來設計不同的地基。
我們會遇到的一個問題是，物理學中有很多內容必須保留在非形式系統中。例如，與實驗相關的細節就無法完全納入形式系統，因為我們在實驗室中使用的實驗器材本身並不屬於形式系統。如何制造這些實驗器材，如何用它們來探測特定的物理現象，這些細節都無法用形式語言來描述。因此，我們的思路是，將部份資訊保留在非形式系統中，然後將其中的一部份對映到形式系統中。因此，我們需要區分物理世界和形式系統，認識到物理物件存在於物理世界中，而物理世界是一個非形式系統，這正是我最初的擔憂所在。這就好比我們不能把所有的建築材料都搬進大樓裏，有些材料必須留在外面。
然後，我們選擇合適的公理和原始概念，以便能夠證明特定的物理物件可以用具有特定內容的符號集在數學上進行表示。實際上，我們需要選擇那些能夠被合理證明的公理和原始概念。這與純粹數學系統的定義有所不同，因為在數學中，你可以自由地定義公理，例如選擇公理。在數學中，有很多不同的方式可以表達與選擇公理等價的內容。但是，如果你需要選擇一個特定的公理，那麽有些公理可能更容易從物理上進行解釋，而有些則不然。因此，原始概念和公理的選擇會受到我們能否對其進行合理證明的影響。這就好比我們要選擇那些既符合力學原理又易於加工的建築材料。
現在，我們已經開始探索這個領域，並且意識到物理學和數學之間存在著這種二分法。我們必須做出一些選擇，決定哪些內容應該被納入形式系統。現在，最 fundamental 的問題是，哪些類別的內容可以被形式系統所描述，哪些類別的內容則不能？我們可能會遇到哪些類別的挑戰？這就好比我們要確定哪些部份可以用我們現有的建築材料來建造，哪些部份則需要新的材料或技術。
我認為，在試圖將所有物理概念都進行清晰、精確地定義時，我們遇到的兩個最大的挑戰是「意義網絡」和「概念切割」。「意義網絡」指的是，在自然語言和物理學中，不存在真正的基本概念，所有概念都是透過其他概念來定義的。例如，如果你查字典，你會發現「樹」的定義是：一種木本多年生植物，具有單一的、通常會伸長的主莖。然後，你可能會問，什麽是植物？如果你去查「植物」的定義，你可能會看到：幼小的樹木、藤蔓和灌木。所以，你陷入了迴圈定義的困境。在物理世界中，沒有任何一個概念可以真正作為基本概念。這是非形式系統和形式系統之間的一個重要區別：非形式系統是一個相互關聯的概念網絡，沒有明確的起點；而形式系統則必須有一個明確的起點。因此，我們需要以一種合理的方式將這個概念網絡展開，但這有時是無法做到的。這就好比我們想要用有限的詞匯來定義無限的世界，這必然會導致迴圈定義或定義不完整。
另一個挑戰是「概念切割」。這個概念指的是，所有物理概念都只在特定的適用範圍內才能被清晰地定義。因此，我們必須進行「切割」，明確某個概念的適用範圍。例如，「橙子」的概念。在日常生活中，例如在超市購物或談論水果蔬菜時，「橙子」是一個非常清晰的概念。但是，如果你仔細思考橙子的生長過程，你會發現從花朵授粉到果實成熟之間是一個連續的過程。那麽，我們應該在哪裏進行「切割」，將某個時刻之前的狀態定義為「不是橙子」，而將該時刻之後的狀態定義為「橙子」呢？實際上，並不存在這樣一個明確的時刻。因此，如果我們要精確地描述橙子的生長過程，我們無法找到一個明確的時刻，將「橙子」與「非橙子」區分開來。當然，在不同的語境下，「橙子」的概念仍然是清晰的。這就好比我們要用有限的色彩來描繪無限豐富的自然景色，我們必須進行取舍，才能突出重點。
另一個例子是，我們能否無限精確地定義「距離」和「溫度」等物理量？實際上，我們做不到。在物理模型中，我們使用實數來表示這些物理量，並假設它們具有無限的精度，但這只是一種理想化的近似。那麽，究竟什麽樣的物體才能被稱為處於熱力學平衡狀態，從而使得「溫度」的概念能夠被清晰地定義呢？什麽時候一個系統才能被認為達到了平衡狀態？這些問題都很難，甚至不可能給出精確的答案。但我們通常會根據直覺判斷，認為某個系統已經達到了平衡狀態，並且可以對其定義溫度。這就好比我們用一把有限精度的尺子來測量無限長的海岸線，我們只能得到一個近似的結果。
類似的問題還有很多。例如，我們在物理學中經常討論「孤立系統」，但實際上，所有物體都透過重力與其他物體相互作用，因此不存在真正的孤立系統。因此，我們必須在某種程度上進行「切割」，忽略那些對我們研究的問題影響較小的因素。我們可能會說，對於研究地球上的汽車行駛來說，木星上發生的事情並不重要，因此我們可以將地球上的汽車視為一個孤立系統。所有這些「切割」都是在非形式系統中完成的。一旦我們完成了這些「切割」，形式系統就不會意識到我們曾經做過這些簡化。這就好比我們在繪制一幅地圖時，會根據需要選擇不同的比例尺，忽略一些細枝末節，才能突出主要資訊。
現在，我們已經對這些挑戰有了一定的了解。接下來，我們需要決定，如果我們要建立一個涵蓋所有物理現象的形式系統，例如我們在「物理學假設」專案中所做的那樣，我們應該選擇哪些基本概念作為形式系統的基石？這些基本概念必須非常普遍，因為我們希望能夠將它們作為所有物理理論的基礎。我們有一個指導原則：科學是普遍的、非矛盾的，並且是基於證據的。這意味著科學規律對每個人都適用，不會出現自相矛盾的情況，並且必須以實驗觀測為基礎。這意味著，所有物理理論都必須能夠對實驗結果做出預測，並且這些預測必須與實驗觀測相符。因此，如果我們想要找到對每個人都適用，並且不會出現自相矛盾的基本概念，那麽「邏輯」就是一個很好的選擇。正如我們之前所討論的，數學中的陳述都是用某種形式邏輯系統來表達的，例如一階邏輯。這套邏輯系統規定了如何操作符號，以及如何判斷一個陳述的真假。因此，我們不應該感到驚訝，物理學也需要一套邏輯系統。但與數學不同的是，數學中的真理是透過邏輯推理或證明來確定的，而物理學中的真理則必須以實驗觀測為基礎。因此，我們需要一套能夠處理實驗可驗證陳述的邏輯系統。我們需要能夠判斷哪些陳述是可以透過實驗來驗證的，哪些陳述則不能。這對於所有物理理論來說都是至關重要的，因為所有物理理論都必須與實驗觀測相符。這就好比我們要為物理學大廈選擇最堅實、最普遍適用的地基。
那麽，什麽是「可驗證陳述」呢？讓我們先在非形式系統中探討一下這個問題。例如，「巧克力好吃」這個陳述就不是普遍適用的，因為有些人不喜歡巧克力。「殺死一個人來救十個人是不道德的」這個陳述也不是普遍適用的，因為不同的人對此可能有不同的看法。而且，這個陳述也不是基於證據的，因為我們無法透過實驗來驗證道德判斷的真偽。數學陳述，例如「數碼 4 是質數」，也不是基於證據的。我們不需要做實驗來驗證數學陳述的真偽，而是透過邏輯推理或證明來確定它們的真假。「這個陳述是假的」這個陳述本身就是自相矛盾的，因此也不屬於可驗證陳述。類似地，「光子的質素正好是 0」或「光子的質素正好是某個具體的數值」這樣的陳述也不是可驗證的，因為我們無法無限精確地測量物理量。我們只能說，光子的質素小於某個具體的數值，例如 10 的負 13 次方電子伏特。所有關於連續物理量的實驗陳述都必須包含一個有限的誤差範圍。例如，「如果水銀柱的高度在 24 到 25 毫米之間，那麽它的溫度在 24 到 25 攝氏度之間」就是一個可驗證的陳述。這些可驗證的陳述讓我們能夠建立對物理理論的信心，例如，我們可以利用這些陳述來制造溫度計。另一個例子是，「如果我取 2 正負 0.01 千克的鈉 24，並等待 15 正負 0.01 小時，那麽只會剩下 1 正負 0.1 千克」。這個陳述描述了放射性衰變的規律，其中包含了有限的誤差範圍。因此，所有物理理論都必須包含「可驗證陳述」的概念，以便我們能夠判斷哪些陳述是可以透過實驗來驗證的，哪些陳述則不能。因此，「可驗證陳述」是一個很好的基本概念，因為它對於所有物理理論來說都是至關重要的。這就好比我們要選擇那些能夠經受實驗檢驗的建築材料。
那麽，我們如何在形式系統中將「可驗證陳述」的概念形式化呢？一個常見的做法是，將陳述中的每個概念都用形式語言中的符號來表示。例如，我們可以將「電子是一個基本粒子，並且帶負電荷」這個陳述表示為：e 是一個常數，表示電子；f p 是一個謂詞，表示「是基本粒子」；n c 是一個謂詞，表示「帶負電荷」。因此，這個陳述可以表示為：f p(e) ∧ n c(e)。但這種做法存在很多問題。首先，正如我們之前所討論的，存在「意義網絡」的問題。我們很難對「電子」、「質素」、「物理邏輯」、「力」等概念給出清晰、精確的定義，因為這些概念之間存在著復雜的相互依賴關系。同樣地，也存在「概念切割」的問題。例如，我們如何定義一個物體是「不可移動的」？我們如何將不同的物體歸類到同一個系統中？我們如何區分系統和環境？所有這些問題都需要我們進行「概念切割」，而「切割」的方式取決於我們研究的具體問題，因此不存在一種通用的「切割」方式。此外，如果我們試圖將所有概念都形式化，我們還會遇到語意悖論的問題。例如，「不能用少於 20 個單詞描述的最小正整數」就是一個語意悖論。因此，我們不應該試圖將所有概念都形式化，因為這會導致很多問題。這就好比我們試圖用有限的圖紙來描述無限復雜的建築結構，這必然會導致圖紙過於繁瑣或出現邏輯錯誤。
那麽，我們應該如何處理「可驗證陳述」的概念呢？我的建議是，將「陳述」本身作為形式系統的基本概念。例如，「光子的質素小於 10 的負 13 次方電子伏特」這個陳述，雖然包含了很多復雜的物理概念，但在形式系統中，我們將其視為一個整體，一個無需解釋的基本概念。形式系統不需要知道「質素」、「光子」、「電子伏特」等概念的具體含義，只需要知道這是一個可驗證的陳述即可。這樣，我們就可以避免很多問題。當然，你可能會問，如果我們只是將「陳述」作為基本概念，那麽我們還能做什麽呢？關鍵在於，我們需要找到那些能夠描述「可驗證陳述」之間關系的規則和公理。透過這些規則和公理，我們就可以構建一個豐富的數學結構，即使我們只定義了很少的基本概念。這就好比我們把每個房間都視為一個整體，而無需考慮房間內部的具體布局，然後透過連線不同的房間來構建整個建築。
那麽，「陳述」應該是形式系統中最小的基本概念嗎？我們能否只依靠單個陳述來保證普遍性、非矛盾性和與證據的聯系呢？答案是否定的。因為邏輯一致性不是單個陳述的內容，而是一組陳述的內容。例如，「這個陳述是假的」這個陳述本身就是自相矛盾的。但如果我們有兩個陳述，「下一句是假的」和「上一句是真的」，那麽每個陳述本身都沒有問題，但它們組合在一起就產生了矛盾。這說明，邏輯一致性是針對一組陳述而言的，而不是針對單個陳述而言的。此外，邏輯關系和語意也只有在一組陳述的語境下才能被清晰地定義。例如，「教皇是羅馬的主教」和「主教只能沿對角線移動」這兩個陳述，如果我們將其孤立地看待，那麽它們之間並沒有什麽聯系。但如果我們將它們放在天主教的語境下，那麽我們就可以得出結論：「教皇只能沿對角線移動」。這說明，我們需要將陳述分組，並將其放在一個共同的語境下進行解釋。我們將這種分組稱為「邏輯上下文」。邏輯上下文在非形式系統中負責維護邏輯一致性和語意清晰性。在形式系統中，邏輯上下文只是一個集合，包含了一些陳述。形式系統本身並不了解這些陳述的具體含義，只是將它們視為基本概念。這就好比我們把每個樓層都視為一個邏輯上下文，每個房間都是一個陳述，而整棟大樓就是我們的形式系統。
此外，我們還需要將形式系統與實驗觀測聯系起來。為此，我們需要為每個陳述定義一個「測試」。這個測試可以無限次成功，可以無限次失敗，或者可以是不確定的。如果測試成功，那麽我們就認為該陳述是真的；如果測試失敗，那麽我們就認為該陳述是假的；如果測試不確定，那麽我們就無法判斷該陳述的真假。但是，並不是所有陳述都存在一個能夠在有限時間內確定其真假的測試。例如，「存在外星生命」這個陳述，如果我們找到了外星生命，那麽我們就驗證了這個陳述；但如果我們沒有找到外星生命，我們也不能斷定外星生命不存在。因此，這個陳述的測試可能永遠不會終止。類似地，「光子的質素正好是 0」這個陳述，如果光子的質素不是 0，那麽我們最終會找到一個足夠小的誤差範圍，從而判斷光子的質素不為 0；但如果光子的質素正好是 0，那麽我們永遠無法透過實驗來驗證這一點。因此，這個陳述的測試也可能永遠不會終止。因此，「可驗證陳述」的概念需要進一步明確：如果一個陳述是真的，那麽它的測試必須能夠在有限時間內成功。因此，我們在形式系統中需要捕捉的概念是：存在一個邏輯上下文，它包含了一些陳述，其中一些陳述是可驗證的。我們可以在這些可驗證的陳述上定義公理，並利用這些公理來構建一個豐富的數學結構。但我們不需要將測試本身納入形式系統，因為這會增加系統的復雜性，而不會帶來實質性的好處。這就好比我們只需要知道每個房間是否可以透過安全檢查，而無需知道具體的檢查流程。
那麽，這個基本概念是否足夠基本呢？我們能否用「可驗證陳述」的概念來描述物理學中的各種方程式，例如微分方程式呢？答案是肯定的。例如，牛頓第二定律 F=ma，通常情況下，我們認為 F、m 和 a 都是實數或向量。但在實際套用中，我們總是會對這些物理量進行測量，並且測量結果總是包含一個有限的誤差範圍。因此，牛頓第二定律實際上表達的是可驗證陳述之間的一種邏輯關系。例如，我們可以將牛頓第二定律表示為：如果質素在 m±Δm 千克之間，加速度在 a±Δa 米每二次方秒之間，那麽力在 F±ΔF 牛頓之間。其中，ΔF 是一個可以計算出來的誤差範圍。這說明，所有物理方程式實際上都表達了可驗證陳述之間的一種邏輯關系。這與物理學是基於實驗的這一基本原則相符。這就好比我們用數學公式來描述建築的結構和力學效能，這些公式必須與實際的測量數據相符。
因此，我們可以為實驗科學建立一個形式系統，前提是我們認識到物理世界本身是一個非形式系統，因此並非所有物理現象都能被形式系統所描述。實際上，大多數重要的物理推理都是在非形式系統中進行的，例如「概念切割」等等。形式系統的精確性來自於它對物理現象的簡化和抽象。數學的精確性也來自於它對現實世界的簡化和抽象。數學之所以能夠如此精確，並不是因為它能夠描述所有現象，而是因為它只關註那些能夠被精確描述的現象。在數學的基礎中，例如集合論，我們透過限制允許的陳述類別來避免邏輯矛盾。因此，形式系統的精確性來自於它對復雜性的簡化。這有助於我們理解從非形式系統到形式系統的對映過程。這就好比我們建造的物理學大廈只能是現實世界的一個簡化模型，我們必須忽略一些細節，才能抓住主要矛盾。
此外，我們還需要對物理學中的邏輯系統進行擴充套件，以便能夠處理實驗可驗證的陳述。我們應該尋找那些所有物理理論都必須滿足的要求，並將其作為形式系統的基本原則。那麽，這些基本原則是否足夠呢？我們是否還需要其他的基本原則呢？此外，我們還需要註意，基本概念的選擇應該盡可能簡單，以便能夠清晰地表達必要的復雜性。例如，我們不需要將「測試」的概念納入形式系統，因為這只會增加系統的復雜性，而不會帶來實質性的好處。公理和定義的選擇也應該盡可能簡單，以便能夠直接從物理上進行解釋。例如，「可驗證陳述」的概念就是一個很好的例子，因為它可以直接從物理實驗中得到證明。當我們定義關於可驗證陳述的公理時，我們應該能夠清晰地解釋這些公理的物理意義。這就好比我們選擇的建築材料應該既堅固耐用，又易於加工和組裝。
總而言之，這些是在為物理學建立形式系統時需要牢記的要點。
