度量空間，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。亦稱距離空間。度量空間是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇將歐幾裏得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。
度量空間是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾裏得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。
拓撲空間的定義：
比如，實數集ℝ構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集ℝ上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間。
度量空間和拓撲空間之間存在密切的關聯，其中度量空間是拓撲空間的一種特殊類別。
所有度量空間都是 拓撲空間中的 Hausdorff空間。
Hausdorff空間是指任何兩個不相同的點都可以被兩個互不相交的鄰域所分開。在度量空間中，由於距離的定義，任何兩個點都可以找到一個足夠小的鄰域，使得這兩個點分別位於這兩個鄰域內而不相交，從而滿足Hausdorff空間的定義。
簡單證明：
假設度量空間中隨便兩點的距離為d，那麽以這兩點分別為球心，半徑為d/3的兩個開球可以分離開兩點。
但並非所有的拓撲空間都是 度量空間。
比如，一個
這個例子說明，即使對於這樣一個簡單的集合和拓撲，也不能透過定義一個度量來完全描述其上的拓撲結構，因此這個拓撲空間是不可度量的。
由上面這個例子可以看到，這個拓撲空間不是一個完整的冪集，或者沒有為每個元素獲得一個單獨的集合（{a},{b},{c}）,所以導致元素a和b不能完整地分開，從而導致其不可度量性。
從上面這個例子似乎可以這樣理解：
度量空間之所以可以度量，比如實數空間，是因為每個實數（子集）都有一個數值，可以看作是座標值；而不可度量的拓撲空間，是因為沒有獲得足夠的集合（冪集或者每個元素獲得一個單獨的集合），從而導致不可度量，也就可以認為一個完整的冪集才相當於賦予了集合中每一個元素座標值，才能被度量，而不完備的冪集則不能。
也就是說， 拓撲空間中集合的概念，有點類似於度量空間中座標的概念 。
拓撲空間的簡單例子：在一個大教室中間加上一個隔斷墻，這個房間就由原來的一個拓撲成了兩個。再不斷地加隔離墻，就拓撲出越來越多的房間。
根據上面的定義，隨便怎麽劃分，當然空間的交集和併集都在這個房間內，所謂拓撲就是隨意在房屋內布置，都會生成一個新的拓撲空間。
當這種分割的過程達到了數學上冪集的要求，這一個個分出來的房間（每個元素獲得一個單獨的集合）就相當於座標了。
綜上所述，度量空間作為具有特定距離函數的拓撲空間，它在數學中占據著重要的地位，尤其是在研究空間性質、幾何學以及物理學中的套用。度量空間的性質和概念為理解更廣泛的拓撲空間提供了基礎，同時也為解決數學和物理中的許多問題提供了工具。
