歷代文人大抵都愛雪，古今中外留下了不少詠雪的佳作。在這些作品中，或歌詠「千裏冰封，萬裏雪飄」的壯麗景色，或頌揚雪花潔白晶瑩，純凈透明的高雅品質，卻很少有人專寫雪花的形狀。數學家則對雪花的形狀情有獨鐘，它給數學家以豐富的聯想，並給一門嶄新的學科——碎形幾何的誕生提供了奠基的素材。
1973年，美國哈佛大學教授、數學家曼德布魯特首次提出了分維和碎形幾何的設想。碎形幾何是一門研究物件是自然界、人類社會和思維活動中廣泛存在著的無序而具有自相似性的系統。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈、粗糙不堪的斷面、變幻無常的浮雲、九曲回腸的河流、縱橫交錯的血管、令人眼花僚亂的滿天繁星等。因此碎形幾何又稱為描述大自然的幾何學。它們的特點是，極不規則或極不光滑。
1904年，瑞典數學家科赫構造的「雪花曲線」，嚴格地顯示了碎形這種有趣的特征。
設想給出一個正三角形，再不斷進行如下變換：在每邊正中的三分之一邊上再造一個凸出來的正三角形，使原三角形變成六角形；在這個六角形的12條邊的每條邊中間的三分之一上再凸出一個正三角形，變成一個4 × 12 = 48（邊）形；反復操作這種變換以至無窮，其邊緣愈來愈增添精細結構，得到一個由碎形曲線圍成的「科赫島」，好似一個雪花（如下圖）。
上圖就是科赫研究的「雪花曲線」，小朋友，讓我們也來畫一條雪花曲線，請跟著步驟並看下圖：
（1）畫一個如圖（1）那樣的等邊三角形，然後把三角形的每條邊三等分。
（2）在每條邊三等分後的中段向外畫出新的等邊三角形，像圖（2）那樣去掉與原三角形疊合的邊。
（3）接著對每個等邊三角形尖出的部份繼續上述過程，即在每條邊三等分後的中段，像圖（3）那樣向外畫新的尖形。
……
不斷重復這樣的過程，慢慢地雪花曲線就成形了。
如果你是個有恒心的人，你會發現，這個步驟可以一直進行下去，三角形的邊上能夠不停地畫出新尖兒，真可謂可以畫到天荒畫到地老， 這時，你會想到什麽？對了，雪花曲線有著無限的周長！
雖然雪花曲線的周長沒有界限，但是整條曲線卻可以畫在一張很小的紙上，所以它的面積是有限的。
有限的面積中包含著無限的周長，雪花曲線真的是能屈能伸！數學家就是套用這種思想，對自然界中的一些復雜的形體進行了「碎形」研究。找到它們的基本元素圖，然後進行逐步地「碎形」，就可能精確地描述出這些圖形了。
下面讓我們來看下面這個碎形圖，請說一說它是由哪一個基本元素圖碎形之後得到的？是怎樣進行碎形的？
我想你看了這個圖之後，一定很容易發現這個碎形圖的基本元素就是最簡單的線段（粗細不計），它是線上段的頂端生出兩條長度是原線段長的一半的線段，再在新生出的兩條線段的頂端各生出兩條長度是前兩條線段長的一半的線段，如此不斷地生出新的線段，就形成這個碎形圖。
讓我們一起來畫一畫這個碎形圖：設原線段的長度為1厘米，畫在邊長為2厘米的正方形內。
你畫對了嗎？我們知道在樹形圖的生成過程中，樹的高度是不斷增加的，如果規定樹形圖第一層的高度為1米，那麽隨著生長次數的無限增加，這棵「樹」是否會沖破教室的天花板，甚至沖破整幢樓的房頂，成為一棵「參天大樹」？寬度呢？那圖中所有「樹枝」長度呢？
我想，你在畫的過程中一定有所感覺，無論我們畫多少次，都不會超出這個框，所以「樹」的高度、寬度是有限的，但樹枝又是不斷生長的。
我們已經研究了兩個碎形圖，你是否感覺非常有趣？
科學家們用這個方法對自然過程中不規則模式和無窮復雜的形狀進行探索。今天，碎形幾何學已經在許多學科，例如，物理、化學、生物、地理、天文、材料科學等方面，都得到了廣泛的套用。
