運用初等數學知識求解橢圓的極線方程式 ，是對數學思維和計算的一個比較綜合的考察，是對信心和勇氣的一個挑戰。
本文大致對應影片【廣義對稱！超詳細分析和求解橢圓的極線方程式】的主要內容，以便對照閱讀。
在本文中，我們將推匯出 點P(x 0 ,y 0 )關於橢圓 :x²/a²+y²/b²=1的極線方程式 。
如果您對橢圓的極點極線定義還不是很清楚，那麽您可以看看影片【如此清晰！橢圓極點極線的定義和運動】。
一、分析
- 初步觀察參考圖形
圖1 橢圓極線的作法
它含有多條直線、成對直線的交點以及多個三點共線，而且部份線&點之間有依賴關系。我們透過回答一些小問題來做個初步整理。
問：圖形中的點和線，哪些是定的，哪些是動的？
答：所給的橢圓是固定的，其他圖形元素是運動的。
問：動的點和線中，哪些是主動的？哪些是從動的？
答：點P和由點P引出的兩條割線是主動的，其他點和線是從動的。
- 根據廣義對稱的觀點進一步觀察參考圖形
問：哪些直線的地位相等？哪些點的地位相等？
答：
①割線PU和PV(即直線EF和GH)的地位相等；
②點E、F、G和H的地位相等；
③直線EG、FH、EH和FG的地位相等；
④直線EG與FH的交點M，與，直線EH與FG的交點N，它們的地位相等；
問：如果不考慮主動或從動因素呢？
答：
⑤直線EF、GH、EG、FH、EH和FG的地位相等；
⑥點P、M和N的地位相等；
⑦直線MN、PN、和PN的地位相等。
- 怎樣運用廣義對稱
只需 做對應的參數替換 ，即可：
從一個點的座標得到與之地位相等的點的座標；
從一條直線的方程式得到與之地位相等的直線的方程式。
這些體現在解題過程中的 話術 ，通常就是「 同理可得 」之類。
- 嘗試給出一個求解思路
（1）點P關於橢圓Γ的極線，僅與點P及橢圓Γ有關，而與所引的兩條割線無關；換句話說，極線方程式中很可能包含x 0 、y 0 、a和b；所引的兩條割線是輔助線，最終結果與之無關，引入的其他參數要消去。
「硬算」 直線MN的方程式，可以透過以下步驟實作：
1)設E、F、G、H四點的座標和割線PEF、PGH的方程式；
2)分別求出直線EG、FH、EH和FG的方程式並化簡；
3)求出直線MN的方程式。
顯然此思路的計算量是比較大的。
（2）如何減少計算量呢？
1）如何設/求四點E、F、G、H的座標，割線PEF、PGH的方程式，並利用E、F、G、H四點在橢圓上？
這裏僅列舉兩個常規方案。
常規方案1. ( 線-點-方程式組消元 )其包含以下步驟
①設割線PEF、PGH的直線方程式(如點斜式)；
②設點E、F、G、H的座標，並分別用其橫(縱)座標表示縱(橫)座標；
③根據點E、F、G、H的座標滿足橢圓的方程式列方程式組，並用點E(F)、G(H)的座標表示點F(E)、H(G)的座標，即消元(消參)。
此方案的難點在於步驟③之消元(消參)。
常規方案2. ( 點-線-方程式組消元 )其包含以下步驟
①利用三角函數及萬能公式推匯出橢圓的參數方程式；
②根據橢圓的參數方程式設E、F、G、H的座標，這意味著已經利用了這四點在橢圓上；
③根據點的座標列出相關6條直線的方程式，尤其是割線PEF、PGH的方程式，並化簡；
④根據點P分別在直線EF、GH上，用點E(F)、G(H)的座標表示點F(E)、H(G)的座標，即消元(消參)。
此方案的難點在於步驟③之化簡及步驟④之消元(消參)。
2）如何利用直線EG、FH、EH、FG的方程式求直線MN的方程式？
這裏也僅列舉兩個常規方案.
常規方案1. 分別求出點M和點N的座標並化簡，從而求出直線MN的方程式。
常規方案2. 用直線EG、FH生成的 直線族 ，匯出點M應滿足的特征；再根據對稱性，同理匯出點N應滿足的特征；從而得到直線MN的方程式。
本文中接下來的解答部份都采用常規方案2。
二、解答
圖2 使用橢圓的參數方程式設點的座標並求出一條割線的方程式
圖3 求出其他直線的帶參數方程式並部份消參
圖4 消參求出極線方程式
三、回顧與練習
- 極線方程式的形式
我們觀察一下這個極線方程式，它 融入了極點的資訊，同時又非常類似原橢圓方程式的形式，即僅僅把x²、y²分別換成了x 0 x、y 0 y ，極易記憶。
- 求極點
因為極點和極線是成對的，所以根據橢圓方程式和極線方程式可以得到極點的座標。
- 消元(消參)方法
求點M的特征時，我們首先消去了參數t3、t2，其利用了三點共線；然後消去了參數t1、t4，其利用了直線族，加減消元(消參)。
- 寫作本文和制作對應影片的目的
（1）展示圍繞求解極線方程式所做的觀察和思考。
（2）展示其中包含的大量代數式化簡和因式分解計算。
這讓我們相信，為了在遇到類似需要大量計算的問題時保持信心和勇氣，進行相關限時訓練並積累一些常用的操作方法，是必要的。
- 練習
猜想並證明 點P(x 0 ,y 0 )關於雙曲線 :x²/a²-y²/b²=1的極線方程式 。
您對廣義對稱觀點的運用是否有了更深的體會？本文中的分析對你提升思維素質有沒有幫助？
歡迎您就此文中的內容評論、留言，感謝您的關註、點贊。
