原創 賊叉
橘子： 今天，和大家重溫下我們和賊叉老師的一次訪談。
如果你還不知道，先簡要介紹下賊叉老師：浙大數學系本碩博、理論物理的博士後，還曾擔任過多年的浙江省高考閱卷人，對數學教學及應試有非常豐富的經驗。
這是他的「大頭照」，是不是很有點做了很多年數學老師的那種風範？
作為數學老師，他教過的、見到的實在太多了。所以，當我們去請他給家長們提提建議，怎麽輔導娃的數學學習時，他說：能不能不用講客氣話，讓我用「大實話」給家長潑潑冷水，好不好？
我們說，那當然好！
比起英語、語文，更多家長對孩子的數學學習心存焦慮（也許是小時候自己就吃過苦、吃過虧），認識誤區非常多。既然有行業內的人、專業的人能帶著破解迷思，何樂而不為呢？
所以，今天，我們請賊叉老師來和大家聊聊中小學數學學習中的一些關鍵問題，比如：
是不是聽起來就很帶勁？
來，一起聽聽這位資深數學老師「帶刺兒」的大白話 ...
01 問：在「雙減」的背景下，家長怎樣輔導孩子的小學數學？
賊叉 ：首先澄清一點，能輔導孩子小學數學的家長其實並不多，多數家長充其量是能做點題，但是未必會教孩子。
而且大多數人本身就是隨波逐流的。 你問他們為什麽要讓孩子課外補習，他們的答案大多數都是：人家在學，所以我家也要學，不能落後。
這種攀比簡直就和石崇王愷鬥富一般的不理性，你家孩子報了兩個奧數班我就要報三個；你報圍棋我就報鋼琴；你報大語文我就報少兒英語。
石崇王愷比富，西晉時期歷史事件
他們搞不清楚孩子到底需要的是培優還是補差，是不是讀書的料子，總之就是不能閑著——這些家長從來都是隨大流，沒有總體規劃，或者有規劃但是脫離孩子的實際。
一般說來，規劃孩子的升學路徑第一要務就是認清孩子實力，包括智力、學習習慣、身體素質等各個方面。 不要制定不切實際的目標，否則的話只會讓自己和孩子都陷入無盡的痛苦中。
我以前帶過一個學生，他的家長就屬於對孩子實力高估到令人發指的那種。為了把孩子塞進當地最好的民辦初中，真是挖空心思費盡周折，最後總算是如願。
然後家長在孩子小學畢業的那個暑假來找我，希望能利用假期讓孩子搶跑。
然而這孩子學習習慣比較差，學得很不紮實，我就很反對。結果這家長不信邪，四處找老師，頗有和我賭氣的意思。我斷言這孩子考不進重點高中——最後果然沒進，高考後去了一個很一般的學校。
這就是典型的認知偏差。在家長眼裏，自家孩子當然是帶著光環的。但是讀書這事能自欺欺人麽？
哪個老師手上沒過過千八百的孩子，你娃真是巫師早兩眼發綠光了。而且誰帶到好的娃那都是開心的事情，畢竟這是給自己臉上貼金的機會。
根據馬太效應 （強者愈強弱者愈弱） ，老師只會玩命地給他疊加資源而不會讓你去矯正孩子的學習習慣的 ，所以聽老師說話一定要對他「但是」後面的話特別註意，這時候正確姿勢是停止爭辯想想老師到底要說的是什麽。
不管有沒有雙減，一定要很清楚地認識孩子的資質和秉性，這是根本的行動指南。
馬太效應，強者愈強弱者愈弱
話說回來，如果家長真心想助力孩子的小學數學，也是要抓住重點去進行。
對於大部份孩子來說，數學的輔導重點有兩個：一是養成好的數學思維，二是加強運算。
數學思維主要還是靠家長和老師共同培養，不是一朝一夕能見到成效的，但是加強運算這件事，可以立竿見影地提高孩子數學成績。這裏簡單講講如何加強運算。
小學數學的系統性相對而言是比較弱的，知識點比較零散，所以更加凸顯鍛煉計算能力的重要性。
比如，看似簡單的兩位數乘以三位數，本質上包含了對數的分解再組合的一個過程。
我經常能聽到家長抱怨孩子腦筋不會轉彎，不會靈活運用知識點，然而「靈活運用」這四個字最早的體現就是在對數進行拆分以後的運算。
連數的基本運算都沒過關，那麽其他的巧妙運算還能得心應手嗎？
所以，夯實計算能力，對大部份孩子來說，是第一步可以做好的事兒。
02
很多孩子在透過「超前學」來提高數學成績，你怎麽看待這個現象？
賊叉 ：很多時候家長讓孩子提前學純粹為自己的虛榮心買單，完全不顧孩子的天賦和接受能力以及學業壓力。就因為其他人的孩子提前學了，所以自己孩子不能落伍。
其實提前學最先解決的一個問題就是為什麽要提前學？ 在中小學階段，如果你要提前學有且僅有一個理由：當競賽生。否則真的沒必要。
按部就班地走，中高考數學一樣很可以考得很好，而且可以把鉆研競賽的時間勻給其他科目，真正做到均衡發展。 但是現在很多家長讓孩子提前學的原因是別人家的孩子提前學所以我家娃也要提前，真的讓人無力吐槽。
至於提前學有什麽值得註意的地方，其實就一條： 學一定學得系統，不要東一榔頭西一棒，這個很重要。
你先吃一口飯，再吃一口水煮肉片或者先吃水煮肉片再吃飯，這個問題不大；但是你先點火再灌燃料火箭就上不了天，按部就班循序漸進，哪怕你提前也得按照學習規律來。
劃重點： 腳踏實地按部就班，孩子一樣能考好 ；基礎沒打好一個勁趕進度，孩子照樣能掉鏈子。反正我見過孩子小學畢業能把高考數學卷子做到110分高考也就考了120不到的，夠超前吧？有什麽用。 永遠不要為了超前而超前。
那麽，如果孩子確實有數學方面的天賦，家長應該如何挖掘並培養？
我之前在某單位教書，碰到過兩個好苗子，一直記到現在。
第一個娃是這樣被發現的。當年我出了一個題目，問：狄利克雷函數是不是周期函數？如果不是，說明理由；如果是，是否存在最小正周期？
我當時壓根沒想到有學生能做出來，因為這批學生是從部隊戰士中考上來的，基礎較差。結果有一個就做出來了，做得還很漂亮。
那時候已經有大學生去服役的了，我就問他是不是大學生入伍的？結果這家夥告訴我：「教員，我高中沒畢業就去當兵了。」
這還了得？重點培養！後來他參加了大學生建模競賽，拿了全國一等獎，還在讀書的時候就榮立了三等功。
還有一個女生。我給學生們講概率的時候講過一個看似簡單的概率題：求任意兩個整數互質的概率。
這個題目聽聽容易，做做很難，從答案你就可以看出難度。我當時看到的解法是用函數做的。我也覺得他們做不出來，結果這個女孩子就做出來了，用初等方法，做得非常漂亮。
我給這孩子的評價是：這是該學校有史以來最好的學生，沒有之一。
當然，他們兩人距離天才還十分遙遠，但已經足夠讓作為老師的我欣喜若狂了。所以說， 你家娃假如真的是天才的話，老師大概比你還激動，根本輪不到家長來發掘 。
03 現在奧數競賽不加分了，還有必要讓孩子學奧數嗎？
賊叉 ：基本上所有的孩子都不適合學奧數。 一直以來我的觀點就是奧數只是工具，無所謂好壞。 在普通的考試無法對學生進行有效區分的情況下，只能提升考試的難度來幫助選拔苗子。
換句話說：除去極個別的學生是真的對奧數有興趣的，大部份孩子學奧數都是剛需，是被迫營業，唯一的目的就是考個好初中罷了。
小學奧數基本分成四部份內容：代數、幾何、組合、數論。 除去代數和幾何以外，如果以後不走純競賽生的道路，組合和數論在娃今後的數學學習過程中是用不到的。
而小學奧數中代數和幾何的訓練重點對以後的數學學習的幫助也並不算是特別明顯，一定要算的話就是培養起數感或者對圖形的認知能力，但是娃如果聰明，就算不學，初高中完全也有可能學的好。
所以現階段是否需要學奧數的答案已經很明確了： 如果奧數是剛需，比如涉及升學、分班，那麽娃肯定要學；
如果你覺得孩子以後就是要走競賽生道路，並且有機會殺入國家集訓隊 （全國前六十） 直接保送的，那麽也肯定要學；
如果讓孩子學奧數就是為了開闊一下眼界，那麽我建議你多給孩子看看科普書，就不要報班了；
其他的情況就都不需要學奧數了，說的夠明白了吧？
其實這個問題還有一個更簡單的答案，只要你問我孩子適不適合學奧數，答案就是不適合。適合學奧數的娃的家長是不會來問這個問題的。
實在想判斷自家娃有沒有奧數天賦怎麽辦呢？
其實， 奧數的精髓在於學生自己去學那些稀奇古怪的東西，而且能學得明白 ，換句話說，你要判斷自己是否具備學習數學的能力。
事實上，2019 年中國科學院大學「三位一體」面試的時候出了一道群論的題目，我是很喜歡的。因為我也曾經拿群的基本概念來測試過初一的學生是否有數學天賦，真的是一測一個準。
當年做出這個題目的兩個孩子，後來一個在北京大學，一個在浙江大學。在浙江大學的那個家夥因為偏科，在高考時吃了虧，不然也是上北京大學的料。
所以，怎麽測試孩子是否適合學奧數？ 如果孩子能夠在極短的時間內掌握一個全新的高難度的數學概念——以能做出與此概念相關的習題為標誌——那麽孩子應該會比較適合學習奧數。
比如，你向一個初一的孩子介紹群的概念，然後問他：有理數是否成群？如果可以，要說明理由，如果不行的話，怎麽操作才能讓它成群？如果孩子回答對了，那就說明他挺適合學奧數的。
04
學數學到底要不要刷題，如何看待「刷題」這件事？
賊叉 ：「要不要刷題」根本就不是一個問題。 我學數學、教數學這麽多年，從來沒見過不「刷題」就能把數學學好的人。 沒有做一定量的習題作為訓練，想把數學學好，是不可能的。只不過，每個人需要刷的量不同罷了。
現在還有一種極度反對「刷題」的聲音，他們提出的理由是：學數學需要思考。我認為這種觀點也是不可取的，要知道，任何事情走向極端，都不是好事。
但是，有兩種刷題方法，我是極度反對的，那就是「無腦刷題」和「低質刷題」。 什麽是「無腦刷題」和「低質刷題」？
「無腦刷題」是指一道接一道地做題，卻不總結。 這次怎麽錯的，下次照舊；就算這次做對了，也不知道自己是怎麽對的，下次未必還能做對……總之，我做了那麽多題，就行了！
「低質刷題」就是，翻來覆去地「狂刷」某個已經掌握的知識點的相關題目，但是，一旦看到不會的東西，就退避三舍。 所以會的就會那麽多，不會的永遠不會。如果「刷題」走進了這兩條死胡同，那刷再多題也沒用。
我所提倡的「刷題」是高質素的、帶思考的刷題 。還是那句話：刷一道題要有一道題的效果，刷一道題就要弄懂一類題。一定要避免一個勁兒地刷同類題的誤區；還要註意總結之前犯過的錯誤，不能光刷不總結。
「刷題」的意義有兩點：一是幫助掌握知識點，二是提升熟練度。
做題也是鞏固知識的有效途徑。學習本身是一個漫長過程，從初步掌握到牢固掌握，僅靠思考是很難實作的，必須透過做一些難度呈逐級遞進的習題，來實作。
舉個例子，你說周期函數的定義是不是很簡單？那麽請你來回答這麽一個問題：除了常值函數，是否存在沒有最小正周期的周期函數？你要是把這個問題想清楚，那麽你對「周期」的概念的領會能深刻許多。
我經常說，考試是有時間限制的，短短兩個小時做完一張試卷，而且年級越高，考試中的計算量就越大，熟練度的重要性就凸顯出來了。作為考生來說，最痛苦的事莫過於有思路，卻來不及算出結果。
如果把考試時間延長到一天，我相信很多學生能夠提高不少分數，但就是因為熟練度不夠，思路來得慢，計算算得又不快，導致時間短缺。因此，對於99%以上把數學當作升學敲門磚的學生來說，刷題是必須的。
當然，大家要註意我在前面提到的那兩個誤區。
「刷題」必然需要做夠一定的量，不談「熟練度」的數學教學都是在「耍無賴」。
當然，每個人的天賦不同，達到某個高度所需做的題量，也是不同的。
比如，有人刷一萬道題，高考能考150分，有人刷一百萬道題，也達不到這個分數。不能因為看高手做了兩道題，知識點就都會了，你自己就幻想做兩道題也能達到同等程度。
畢竟，幾百年來，人類中只出了一個歐拉，他可以「瞎算」——歐拉晚年雙目失明，所有計算都是心算。我們這些凡人想理解一個數學概念，不做做題，根本不可能。
一定要註意區分，我們是否陷入了「無腦刷題」和」低質素刷題」的誤區。
相對來說, 「無腦刷題」比較好判斷，就是看一共做了多少題，錯了多少題。如果做的多，錯的也多，那基本可以判定是在無腦刷題。
判斷是不是低質素刷題，恐怕就需要你有較高的數學素養，才能判斷出所做的是否屬於同一類別題目。
如果孩子確實陷入了以上兩種誤區， 首先還是要鼓勵他們——起碼，這都是肯動筆的孩子，比那些不動筆的懶人強得多 。然後，我們要點醒孩子 （是不是在低質素刷題，最好找老師幫你鑒別一下） 。
至於如何糾正，最好能有靠譜的數學老師幫你糾偏，要麽就靠自己調整， 你能做的就是「結果導向」——看看做題的整體正確率是否有提升，是否能勇敢嘗試不同類別的題目 ，等等。
05
你在書中提到不提倡「套路」和「解題技巧」，能具體展開說說為什麽嗎？
賊叉 ：很簡單， 套路和解題技巧一定是建立在基本功紮實的基礎上的 。然而大多數的學生基本功是不過關的，這就像地基不穩還要建摩天大樓一樣。如果基本功真的很紮實，那麽當然可以玩套路和解題技巧。
我以前教過的一個印象很深的學生，這個孩子是寧波一個普通的高中生，來找我的時候數學成績很一般，但是心氣很高，總覺得自己數學學得很好但是考的不好。
我稍微一翻他的卷子就知道， 娃的問題和絕大多數學生一樣，頭重腳輕根底淺 。我問他橢圓和雙曲線的第二定義是啥，當場傻眼，不知道這玩意還有第二定義？然後我就說：對你而言，除了運算技巧，其他的一切技巧毫無意義。
後來我就讓他動手開始做了一個解析幾何的題。剛好那個題也是屬於運算量大的，做了一半他就做不動了。我看了一下他的解題步驟，就只把方程式聯立了一下，有兩個條件就不知道該怎麽用了。我又幫他把這些條件都轉化完了，剩下的就是算。
式子都列完了，而且都是列的對的，只剩下計算，你覺得最後這孩子把題目做出來了麽？顯然沒有。在經過一系列繁到懷疑人生的計算之後，娃徹底放棄了。
我說，我來。然後還是那幾個式子，甚至我連一點計算技巧都沒有用，就直接開始硬算，最終得到了正確答案。我問娃：是不是這幾個式子？答：是。我又問：有沒有花哨的技巧？答：沒有。我再問：為什麽你算不出來？又不說話了。
事實上，到了高中數學，有一個很大的難點是當你題目做不下去時，你無法判斷到底是自己路走錯了還是計算出現了問題。 事實上，解析幾何的題目多半還是計算上的問題偏多一些。
應該說這對娃的沖擊還是相當大的。就是在他算不下去的地方硬算出來，從而以實際行動告訴他計算到底有多重要。然後我又翻開參考答案讓他看，看了一會告訴我看完了。
我問他看懂了麽，說看懂了。我說巧妙麽？他說巧妙。我說巧妙但是你想不到。這種巧妙的做法我如果做教研的時候也能想出來，但是考場上我估計也夠嗆能想到，我的第一反應就是你這種樸實無華的。
巧妙解法一定是你基本功相當紮實了，然後在實戰中自然而然流出來的。 換句話說就一眼看過去能想到有巧妙解法，那就用，如果你想現找，那對不起，還是老老實實用樸素的解法吧。
很簡單，不是每個題目都有巧妙解法的。你要找巧解，首先得確認這個題目能否巧解；其次才是巧解如果存在，那麽怎麽找到。能夠判斷出來這個題目有沒有巧解時間，你用常規做法可能已經能做掉一小半了。
巧妙解法是讓你膜拜的，幾乎沒有什麽實戰意義。
你一個連普通解法都夠嗆的娃，還想巧解？太祖長拳雖然是大路貨，那也得看誰用。在喬峰手裏，那也是能神擋殺神，佛擋殺佛的，不能因為你自己用不出來就說它沒用——然而倚天劍不會用的話是真的能傷到自己的。
06
到了小學中高年級和初中，學生數學學習遇到明顯困難時（往往是不理解的東西越積越多），建議他們如何突破障礙？
賊叉 ：「刻意練習」這個概念的是佛羅裏達州立大學的心理學家 K. Anders Ericsson首先提出來的。
所謂刻意練習，其核心是專家級水平是逐漸地練出來的，而有效進步的關鍵在於找到一系列的小任務讓受訓者按順序完成。 這些小任務必須是受訓者正好不會做，但是又正好可以學習掌握的。
首先一定要明白一件事：不是每個人都能把數學學好的，你的天賦決定了你的天花板在哪裏。不要相信所謂的努力就一定能成功這樣的鬼話，努力的意義只能是超越你自己。
然而努力是一態度，朝著對的方向努力是一種能力。很多時候，孩子的各種努力其實是無用功。很多人特別喜歡用努力感動自己，具體表現在練來練去練的都是自己已經會的東西。想要突破障礙你，就一定要進行刻意訓練。
那麽怎麽進行刻意訓練？
我們要把自己所有做過的卷子先整理起來，這時候要做一個統計，可以把題目分成了以下幾類：
對於第二類要做適量的題目，更多的是想，為什麽速度上不去，到底卡在哪裏？這部份題目速度如果能上去，那麽效果是立竿見影的——因為就有時間留給第三類題目。
至於第四類，有的學生可能會想，壓根不會做的我怎麽練啊？
首先，要把這些不會的題整理起來，然後一道道啃，就是把自己能想出來的招都寫出來，然後和標準答案去對比——註意，一定要做到力竭！
就是說你要在黔驢技窮的情況下再去看答案解析，只要自己還有一點想法，不管對錯，都把自己的想法寫出來，然後比照答案，看看自己有沒有一點點沾邊的，只有這樣才會有鍛煉效果才會刻骨銘心！
這一切的基礎就是你必須要做好前面的分類工作 ，如果沒有這個分類，你的這種刻意訓練針對性就不夠強，效果就會大打折扣。
總結一下： 提升會做但是做的慢的題目的速度，死磕自己的短板，以及長時間的堅持 。
07
你曾擔任多次浙江高考數學閱卷人。在你看來，高中數學難在哪裏？小學、中學數學成績不那麽理想的孩子，到高中還趕得上嗎？
賊叉 ：這個概率很小，但是也不能說完全沒有可能。
統計規律對個體而言並不一定適用，確實存在極個別的案例，孩子在小學初中的時候貪玩，連滾帶爬上了高中，然後幡然醒悟，一路開掛。
只不過千萬別幻想自己孩子是這樣的人物就好。
如果娃的數學基礎已經落下了，除了學習方法和運算能力，最重要的是提高娃的執行力，迎頭趕上。
給大家講一個真實的案例。
最早開始教數學的時候，我曾經帶過一批很不錯的娃，後來這批娃中有不少人進了清華、北大，就算沒去這兩個學校的，基本上也都去了全國最頂級的那幾所學校。
當然，這和孩子本身的素質分不開，我也許只是做了一點微小的貢獻。在這批娃裏，有一個孩子的資質很一般，一般到別說放在這個班裏，就是放在普通的班裏也不算出挑，最多就是中上等的水平。他就讀的初中也是寧波一所很一般的學校。
但是，這個孩子最後考取了一所全國排名很靠前的985高校，學校在國內排名十五左右。講道理，我根本沒想到這孩子能考到這個分數，尤其讓我吃驚的是，他數學考得很好，接近140分了。
他在中考的時候沒有考進寧波最好的高中，而是去了重點中學裏的末流。入校的時候，他成績排在中上等，最後高考成績是全校第一。
後來我想了想，他取得這樣的成績絕非偶然，因為這是一個執行力超強的孩子……
無論我說什麽，這個孩子總是在自己的能力範圍內做到極致。 他的接受能力和反應能力就是一般水平，但在我教過的學生裏，他每一步走得都是最穩當的。
從一開始，這孩子就進入了我的視線。我會抽查學生默寫，每次默寫平方表，這孩子都是表現最好的。雖然他做難題的表現很一般，但是對於我講過的話，他落實得最充分——從執行力的角度來說，這個孩子可以打滿分。
比如，我在這本書中講了很多關於數學教學和學習的方法，總體來說，是比較有可操作性的，但不知道有多少人能按照書中的要求去做，去指導孩子？指導完了以後，又有多少人能檢查落實情況？ 再先進的經驗不去落實，那是神仙也幫不了你啊！
08
請賊叉老師推薦些數學課外讀物。尤其是適合小學和初中孩子讀的，促進發散思維的、提升數學素養的；適合家長讀的也可以包括在內。
賊叉：其實這是一件很困難的事情，因為每個孩子的需求都不同，比如他是要學奧數？升學考？培優？補差？激發學習興趣？當然，你可以帶孩子去書店讓他自己挑，但是孩子自己挑出來的書不見得就適合他。
理論上最好的方案就是給孩子量身客製，先對孩子的整體情況有個了解，然後根據其自身特點幫著挑書，但是你挺難找到這樣的內行來幫你做這個事情。所以在這裏給大家列幾個總的原則，相信也能幫你縮小範圍。
首先，盡量不要挑數學家寫的 ——除了中科院出的那套【數學小叢書】 （華羅庚） ，我還真的沒看見什麽大數學家把科普或者中小學數學寫得讓孩子或者家長覺得很好的——如果你從事數學相關工作的一定會對這些書贊不絕口。
甚至於【數學小叢書】這套書有很多家長買了以後紛紛向我吐槽說太難，搞得我以後看見數學家寫的就只能繞道走。 他們寫的書一般對孩子都不太友好，而且書名一個比一個謙虛，內容就一個比一個恐怖。
凡是帶有講義、初步、簡明字樣的數學書千萬別給孩子買，如果想摧毀孩子學習數學的興趣，那麽你就下手。 真的，聽人勸吃飽飯。這種書別說你娃，我看了都肝顫，別問我怎麽知道的。
其次，盡量挑寫得厚一點的書。 我們的目的是讓孩子能夠更好地學習數學，所以書寫得越仔細，上手也就越容易。數學書厚，要麽就是例子多，要麽就是對基本概念、解題過程寫得很詳細。而且單位時間尼利容越多就越好。
比如說兩本書都是六百頁，但是一個內容是初一代數，一個是初中三年數學全集，那麽一般來說前者會更細致，對初學者也會更友好一些。
作為作者來說，要盡量把讀者想的白癡一些，更白癡一些。越是這樣想的作者，書的可讀性往往也就越強。一本數學書是否容易上手的一個重要標誌就是你翻到那些寫顯然的地方，如果這個顯然是真的很顯然，那麽可以果斷入手。
第三，不要買家長都完全看不懂的書 。能關註到這篇采訪的家長一般來說都受過高等教育，如果一本非競賽類的中小學數學書你完全看不懂的話，也不建議你入手，因為很可能對孩子來說太難了。
第四，如果是習題集，那麽解答越詳細越好 。最好是選擇填空都帶有詳細過程的那種，而且針對性越強越好。比如說高考數學歷年真題解析，前面二十頁試題後面兩百頁解析，這種看起來就比較靠譜，而且針對性強。
千萬不要跨區域買習題集，特別是有些名氣大的地方出的密卷、內部試卷，一來難辨真假，二來就算是真的，你不在那個地區做了也白做。
以上這些都做到了，不敢說你一定買到最適合孩子的數學參考書，但是一般來說也不會掉坑了。
來自網絡，侵刪
