摘要 量子力學創立伊始，狄拉克就關註到了一般表示的問題，其後量子力學的發展又引入了福克態、相幹態等表示。好的表示應能提供正交歸一的完備基，同時又能給出問題的嚴格解析解或者允許方便地得到近似解，但這常常是做不到的。我們意識到此前得到的相幹態正交化方法恰恰滿足表示理論的一般性要求，且因為包含自由參數為構造歸一化的完備正交基實際上提供了無限的選擇，這樣甚至在解決問題的過程中都可以靈活地選擇不同的表示，從而帶來計算量的大幅減小。透過對不同耦合強度下的近共振態Rabi模型最初10個能階的計算，並同關聯的JC模型的結果相比較，驗證了相幹態正交化方法的有效性。
關鍵詞 表示理論，歸一化完備正交基，相幹態，相幹態正交化，Rabi模型
1 導 言
量子力學創立伊始，狄拉克就關註到了表示問題在量子力學中的重要性。在其1930年出版的【量子力學基本原理】一書[1]的第三章中，狄拉克就表示的一般性條件作了系統的討論。給定一個可交換觀測量的完備集，可以構建起一個正交表示，其基向量是這個可交換觀測量完備集的共同本征向量(simultaneous eigenvectors)。這個正交表示基向量的一個方便標記可以是可觀測量完備集的本征值。更進一步地，我們還要求基向量是可歸一的，而這並不總是可行的。表示的一個宗旨是為了讓問題盡可能顯得簡單，最好是能獲得嚴格的解析解。在量子力學此後的發展過程中，福克(Fock)於1932年引入了福克表示[2]，克勞德於1960年引入了相幹態表示[3]，都有力地提升了量子力學表達問題與求解問題的能力。順帶說明一下，為了和數學上的群表示等概念一致，同時也是為了方便看清楚它們之間的關聯，本文中我們將使用「表示理論」一詞來指稱representation theory而非如一些中文文獻那樣使用「表象理論」一詞。有必要指出，狄拉克的representation theory中的representation可以是偏抽象意義的，而提及一個狀態向量的具體表示，即狀態向量相對於一組基的座標時，狄拉克用的是representative一詞。關於這一點，提請讀者朋友在閱讀文獻時註意區別。
在【無因次量子力學態矢表示】一文中[4]，我們闡述了量子理論中要使得各個基本原理相互間能自洽，則量子力學狀態向量必須是無因次的。一來作為函數的對應物，這應該是狀態向量作為一個數學物件的應有之義；二來這也是物理角度對狀態向量的要求——狀態向量表征的是獨立於觀測之外的物理存在的狀態。物理量，或者嚴格地說可觀測量，有因次的問題，其反映了物理量之間的一些內稟關系，但是對物理量所存在的狀態的抽象描述，自然應該是無因次的。狄拉克書中給出的座標表示
和動量表示
這兩個具體表示就不滿足無因次的要求[1]，狄拉克未深究這個問題，所幸近年來又引起了關註[5，6]。在文獻[4]中，我們構建了與狄拉克的表示
和
相對應的無因次態矢集
和
，但是也註意到了
表示和
表示依然是不能歸一的。不能歸一的表示會帶來諸多問題，我們傾向於認為其是不能提供狀態空間的基矢集的。
不妨換個思路考慮這個問題。狄拉克提出的表示理論具有普遍意義，構造表示是量子力學必要的課題之一，這一點參照群表示論研究的意義就很好理解了。表示不必然是唯一的，針對不同的物理系統或者物理性質的研究，甚至是在一個問題表述之不同階段，可能都允許表示的靈活選擇，這也恰是福克引入量子化波函數的工作所體現的精神[2]。自然地，我們面臨如下的問題：除了人們熟知的這個Fock態矢集
之外，還有沒有其他的可表示狀態空間的基矢集，即是否存在其他的具體表示？如果有，這些表示(可以)有正交歸一的完備基矢集嗎？針對上述問題，本文將給出一個正面的回答。
2 相幹態正交化
我們構造表示的努力源起量子理論中的另一個重要話題。量子理論中的一個重要基本問題是系統的演化問題，為此要求解系統的動力學方程式。然而，人們註意到除了少數幾個特例，這包括無限深方勢阱、諧振子、球對稱勢以及JC(Jaynes—Cummings)模型[7, 8]，幾乎沒有嚴格解析可解的其他情形。故此，作為量子力學發展基礎的對量子原理的擾動處理，當然這本是經典力學方法的恰當運用，有了針對量子力學獨有的新進展。微擾論適用於弱耦合情形，在量子理論發展初期被成功地用於處理一些弱耦合的問題，比如弱外場下的躍遷問題。當前的實驗技術實作了大量的強耦合系統，則如何求解強耦合系統的量子力學問題便成了急迫的課題。針對弱耦合情形而來的微擾論無法勝任，人們迫切期待發展出能夠用於強耦合系統的計算方法，即非微擾理論。在眾多的試圖求解強耦合體系問題的非微擾研究中，本文將表述其中的一種理論，其與我們要回答的關於表示理論的問題密切相關。
在囚禁粒子的裝置中，被囚禁粒子與空腔中的光場相互作用，這帶來了所謂的腔量子電動力學此一熱門領域。如果粒子與腔場之間的作用足夠弱，則在近共振的情形下，一個被囚禁二能階粒子與單模腔場相互作用的系統在旋波近似的前提下可以用JC模型描述，其哈密頓量為
其中 σz 是包立矩陣的 z 分量， σ +， σ -是二能態的升降算符， Δ 是二能態的能量之差， ω 是場的角頻率(模型已約定ℏ=1)， λ 是耦合常量。有意義的是，JC模型是量子理論後來發現的唯一嚴格可解問題。此模型嚴格可解的物理原由是其能量本征態被限制在狀態空間的一個小的子空間裏了。若令系統的定態解取如下形式：
其中
分別表示被囚禁粒子的上、下態，
是相應的腔場態矢部份。基於系統的定態會局限於狀態空間的一個子空間中的考慮，可假定
取如下的形式：
將式(2)和(3)代入定態方程式：
立即可得：
(5)
以及：
這樣的結果是嚴格的，同時說明(3)式的預設是正確的。
但是，如果被囚禁的二態粒子同腔場間的耦合不是那麽弱，則在耦合較強時非旋波項不再可以忽略，這時二態粒子—腔場耦合系統應由Rabi模型表述，相應的哈密頓量為
將式(7)與式(1)作比較，可以看到式(7)中多了
和
兩項。這兩項的出現，使得一個確定的定態不再保持在上態只含
、下態只含
這樣的子空間中了。如此，嚴格求解就成了一個難題。求解Rabi模型因其重要性在過去二、三十年間受到了眾多研究者的關註。
在已發表的許多研究工作中，有這樣的一種求解方法與此處討論的問題有關，可用來解Rabi模型以及其他的具有較強耦合的問題。2006年，汪古連與合作者第一次提出相幹態正交化方法，給出了Holstein模型的精確解[9]。緊接著在2007年，Irish也提出類似的方法，將旋波解推廣到了強耦合的情形[10]。該方法大致思路如下。註意到從JC模型過渡到Rabi模型時增加了非旋波項，這打破了腔場的狀態向量僅局限於一個只涉及
及
的小的子空間的限制。如果將腔場態再用Fock態矢集
展開的話，則一定需要納入許多的
。即使在近似的情形下，在某個大數 N 對應的基向量
處作截斷，所要求的截斷 N 值也會很大，甚至使得數值計算不再具有可行性。由此，我們想到如果不將腔場用Fock態展開，而是改用相幹態展開，就會破解這一困難。給定一個相幹態：
進一步地可表示為
從上式可以看出，一個相幹態包含了Fock態矢集
。不過，這裏Fock態向量的權重是確定的，單獨一個相幹態不可能構成解，必須用系列的相幹態的疊加。一種可能性是取如下的展開形式：
或者
這兩種展開雖然都憑借有限項就包含所有可能的Fock態，但存在不同的
或不同的
以及
之間無正交性的問題，需要尋求具有正交性的相幹態矢集，於是自然產生了實作相幹態正交化的想法。為簡單起見，我們用僅有一個參數 α 的相幹態為例來說明如何做到這一點。取
引入新的算符：
如同
，算符 A ， A +滿足如下的對易關系：
因為
故可將
記為
，則可將式(15)覆寫為
是新算符 A 的「真空態」。
定義新的數算符：
以及新的態矢集
，
是算符
的本征態，
則有：
滿足：
如此則實作了正交歸一的相幹態。在得到正交化相幹態的態矢集
後的若幹年中，作者之一(汪)與合作者將之用於求解Rabi模型、Dick模型等，都獲得了令人滿意的結果[7，8]。
3 正交化相幹態作為表示
有了以上的鋪墊後，再回過頭來討論我們要考慮的表示問題。當把上述的求解量子力學動力學的相幹態正交方法同當年狄拉克所闡述的一般表示理論相聯系時，才發現我們得到的態矢集
其實是滿足狄拉克表示理論的一種具有普適用途的表示。
由任意
表示的相幹態所構造的一組態矢集
不是原來的Fock態矢集
。實際上，每一個態矢集
都是一個正交歸一的完備集，它們還是無因次的，故都可作為量子表示的一組基矢集，即提供一種表示。參數( α β )的取值不同就帶來一個不同的表示，有無限多的選擇。
至此，我們實作了一種滿足狄拉克表示理論期待的具體表示，而且藉此還可以理解為什麽相幹態正交化方法對於求解強耦合問題是可行的。我們將看到，正交化相幹態表示滿足表示理論的思想初衷，即針對不同問題，甚至是針對同一問題的不同求解階段，選擇合適的表示會使求解更加簡單可行。
3.1 求解Rabi模型
相幹態正交化得到的正交歸一且無因次的完備向量集可作為表示理論的一個實作，接下來我們以求解Rabi模型為例展示這樣的表示理論套用於量子力學基本動力學問題的能力。選擇Rabi模型出於如下考慮：一是因為Rabi模型是非常重要的物理模型，它比較簡單但其近似計算仍然需要巨大的計算量，將相幹態正交化方法用於其上會有明顯可見的效力；其二，比較重要的一點是，它有一個與它密切有關的嚴格可解的JC模型作為比照背景，可用於檢驗計算結果的可靠性。
Rabi模型的哈密頓量見式(7)，過去已有許多研究，我們現在采用相幹態正交化得來的狀態向量集進行研究。在研究過程中我們註意到，過去的未經挑剔的普遍做法是，選定了一個特定的表示，便會將這個狀態空間連同基矢集固定下來，始終在一個固定的表示的基礎上去面對問題，比如求解系統的所有定態，即能量算符的本征態。現在當我們明白相幹態正交化提供了好的表示時，則在求解系統的不同定態時可以靈活地取不同的表示來計算。如果在計算中可以針對基向量的完備集求和，自然根據表示理論用任何表示都會得到同樣的結果；但是，在近似計算中必須作恰當的截斷。顯然，若對不同的物件選取不同的表示(狀態空間及基向量完備集)卻都能實作在相對較小的截斷下獲得同樣的精度，那無疑是極有價值的。
將相幹態正交化方法用於求解Rabi系統的定態問題，過程、過程的最佳化以及結果討論簡單敘述如下。為簡單起見，采用式(13)—(20)中的含一個參量
的相幹態而非一般的
相幹態表示。將式(7)中的哈密頓量 H 改為用 A ( α )， A +( α )表示：
（21）
系統的定態向量可相應地表示為
（22）
將式(21)—(22)代入定態方程式：
(23)
經過推演，得到兩態對應的聯立方程式組：
利用
的正交歸一性，可得方程式：
基於此，可以透過數值計算求得能量本征值。
3.2 計算結果與分析
將式(21)中哈密頓量的參數 Δ 選為能量單位，參數 ω ， λ 依此能量單位設定。為了讓計算結果能更清楚地顯示表示理論的意義，我們為Rabi模型選擇了兩種近共振的參量，分別為 Δ =1， ω =0.9和 Δ =1， ω =1.1。為了檢驗耦合從弱到強的情況，將耦合強度取為 λ =0.001，0.005，0.01，0.05，0.1，0.5。針對每一組參數( Δ ， ω ， λ )對應的情形，我們計算了定態的能量本征值。在設定的截斷條件下針對特定的表示所用到的參數 α 值會粗略地在 α ∈(0,10]間掃描以計算出最初的10個能階。針對求解每一組參數對應情形的最初10個能階之過程與結果展開討論，對應的JC模型已確立了的最初10個能階值同時列出供比較(表1)。
表1 針對參數為 Δ = 1， ω = 0.9， λ = 0.001時的計算結果
我們註意到，在同樣的截斷下，針對每一個能階，所得的能量值都隨表示式(12)中的參數 α 而改變，但能階都會有一個最小值。表1顯示的是針對系統參數值為 Δ =1， ω =0.9， λ =0.001時，即弱耦合情形，在一定截斷下計算得到的最初10個能階的最小值，以及算得最小值時為表示所選擇的 α 值。對應這最初的10個能階，算得最低值時的表示參數 α 分別為 α =10, 4, 10, 4, 10, 4, 10, 5, 10, 5。因為是弱擾動的情形，計算得到的結果同JC模型的值偏離不遠，這可看作是對我們方法的肯定。若僅進一步增加截斷值，則這10個最初能階的最小值僅有可忽略的精度改進。但是，若針對指定的能階固定截斷值而選擇其他的表示參數α值進行計算，則會造成自最小值的明顯可見的偏差。換句話說，在設定不是足夠大的截斷的前提下，如果只用一個確定的 α 值進行計算，則只能算出一個或幾個滿足精度要求的能階值而不是全部。如果要求所有能階值都滿足較高的精度要求，唯一的出路是加大截斷值。但是，對於Rabi模型之類的問題，由此帶來的計算量的增加是不可承受的。這裏，在表示理論思想的指引下，我們認識到可以不用為問題固定一個具體的表示，盡管表示是合理的，而是針對一個確定系統的單個能階都可以靈活地選擇合適的表示。這個認識上的突破會帶來計算量的大幅減小，讓許多本來原則上不大可能計算的問題有望得到解決。
表2 針對模型參數為 Δ = 1， ω = 0.9， λ = 0.5時的計算結果
針對大耦合參數 λ 的情形，利用相幹態正交化方法也容易計算，例見表2，此處不作深入討論。隨著耦合參數 λ 的加大，Rabi模型的最初10個能階與JC模型值的偏差變大，這也是應有之義。值得註意的是，在計算的所有情形中，即針對 Δ =1； ω =0.9，1.1； λ =0.001，0.005，0.01，0.05，0.1，0.5的所有不同組合，基態能階的Rabi模型值同JC模型值之差總比其他能階來得更大一些，初看起來這似乎有點無法理解。其實，這一現象更加肯定我們計算的可靠性。造成這一現象的原因來自JC模型與Rabi模型的差別除了在於有無非旋波項外，實際上還有另外一個實質的不同，那就是JC模型中的
項，即粒子處於下能態、腔場為真空的啞態，它在JC模型中不會參與相互作用但在Rabi模型中卻因非旋波項的存在也參與了相互作用，而這個相互作用顯然對最低能量態影響較大。
作者：汪古連 曹則賢
(1 中國科學技術大學近代物理系)
