我曾经有段时间是久闻椭圆函数大名，但不知其与椭圆有何渊源。阿贝尔在完成了著名的数学难题「 五次以上方程无代数解」 的证明之后，他大部分精力都投入到了 椭圆函数 的研究。前面我在写【什么是伽罗瓦扩张？（一）】的时候说过一对数学精灵阿贝尔和伽罗华， 同是命运多桀，同是英年早逝 ，阿贝尔在短暂的一生中参与了当时 最困难又最吸引人的两个数学问题 。
23岁的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，到柏林准备拜访高斯，希望高斯能认识到其论文的价值，可并没有得到与高斯接见的机会，非常遗憾的是，直到高斯死后，人们在高斯遗物中发现的阿贝尔寄给高斯的小册子， 并没有裁开 ，这意味着高斯都没来得及读这篇意义重大的论文。
数学的发展很多时候都来源于一些 让人感到惊奇的问题 ，五次方程不可解问题是其一，而椭圆积分是另一个，这个不定积分无法用初等函数表示，这就是为什么高中生在学习圆锥曲线的时候，椭圆的面积公式是πab,与圆的面积πr^2相对应，而椭圆周长却没有一个初等函数可以表达了。现在来推导椭圆周长。
其中P为没有重根的多项式，R为有理函数。这里的函数f(x)没有初等函数形式，即它是一种 超越函数 。我们知道超越函数与代数函数相反， 函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方 。 初等函数 则是由 代数函数、三角函数、指数函数以及它们的逆组成 。例如正弦余弦函数就是初等函数里的超越函数，所以用了新的记号sin、cos来表示正弦余弦函数，而无法把它们写成自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。椭圆积分引起了很多数学家的兴趣，他们一直试图找到积分的初等函数表达式，但皆以失败告终，最终数学大师 刘维尔 证明了 椭圆积分不是初等函数 ，表达式都没有，那如何来探究这类函数的性质呢？
椭圆函数是由椭圆积分 求逆 而来，正是椭圆函数成为了理解这类超越函数的突破口。就像 五次方程无代数解的问题推动了抽象代数的发展，而椭圆函数则推动了复分析的发展 。现在很少有关于椭圆函数论的书籍，它已成为复分析这个广阔理论里的一个很好的例子，这就像五次方程无代数解问题、尺规法三等分角问题都成为抽象代数理论里的重要结论。
数学家是如何想到对椭圆积分求逆呢，可以与圆进行类比。我们知道三角函数是圆的参数化函数，很有意思的是正弦函数的逆：arcsin(x)的导函数是一个代数函数，而它本身是超越函数。即
右边是一个积分形式，能不能和椭圆函数进行类比呢？最简单的椭圆积分来自伯努利双纽线，它成为了突破口。双纽线的笛卡儿方程为
ω这是一个新的常数！有趣的是sl(x)函数还有第二个周期 2iω,这是它区别于sin(x)函数的独有的性质。因为
对于sin(x)则
高斯、阿贝尔、雅可比发展了椭圆函数论，可惜的是直到阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值，当克列尔为阿贝尔争取到柏林大学数学教授职位的消息传到阿贝尔那里， 他已经因肺结核去世两天了 ！
