开启愉快的旅程
生活中，我们会遇到很多不断「连续变化的量」，例如我们开车上路时，汽车的里程是在连续不断变化着的，里程表上的公里数值一直在上升。虽然某一时刻都对应着一个具体的里程值，但这个里程值并不是孤立存在的，它有变化能力，这个变化能力具体是多大呢？
里程在上升，上升得有多快呢？
我们可以看下速度表，某一时刻速度表上的数字，就是该时刻里程的变化能力，这个变化能力我们也称之为「变化率」，例如一小时能上升30公里的里程。
速度就是里程变化快慢的度量，即里程的变化率
数学的角度，怎么计算出这个变化率呢？如果汽车是直线匀速行驶的，我们只需用小学的除法，就可以简单计算出来：总里程÷行驶所用时间=速度，速度就是某时刻里程上升快慢能力的具体数值。
匀速运动，用普通除法就能算出变化率
现实中车辆的速度，是时快时慢的，要求出某个时刻的对应速度，普通除法搞不定（普通除法只能得到速度的平均值），这时就需要用到更高一级的特殊除法：导数。导数是把除法加入极限思维后的一种计算方法，目的就是用来求出变化率。
还是以汽车的里程变化快慢为例，总里程÷行驶所用时间=平均速度，这个比值关系式里，如果「行驶所用的时间」无限接近零，那么所求出的比值，就无限接近该时刻的真实速度值，也就是计算出这个比值在分母部分趋于零时，无限接近的那个数值，就得了速度。这种计算比值极限的方法，就是导数。
导数的定义
求出汽车里程的导数，就得到了速度。
那里程的微分，又是什么呢？用某时刻对应的速度，乘以一段时间的改变量，就是该时刻里程的微分，例如在行驶到0.5小时的时候，假设此时对应的速度为56公里每小时，则此时刻对应的里程微分表达式，就是：此时刻路程的微分=56×时间改变量，时间改变量的值可以任意取，例如取0.3小时，具体的微分值就是56×0.3=16.8，注意汽车继续行驶了0.3小时后，实际的里程并不一定是16.8公里，因为速度是变化的，而不是一直保持在56公里每小时不变，所以某时刻里程的微分，就是以该时刻的速度为基础，所计算出来里程变化量的近似值，这个近似值与真实值显然存在着误差，当时间改变量的取值无限接近接近零时，这个误差也将无限接近零，而且它接近零的程度，比时间改变量自己接近零的程度还厉害，数学上称为「更高阶」。从函数图像上看，某时刻里程的微分，就是里程函数的曲线，在该时刻的切线的上升高度。
函数曲线上某点对应于自变量改变量的微分，就是该点切线的变化高度dy，它是曲线实际变化高度△y的近似值
利用里程的变化率，也就是速度，得出微分表达式后，就可以反过来可以求出实际的里程，方法就是「积分」运算 ，也就是变化率的逆运算——求出原函数，类似于乘除法互为逆运算，其实乘除法可以看成是微积分运算的特殊情况，即在变化率固定不变时的运用。
数学 ，就是这么有趣。
