摘要
：现有的原子-光场相互作用的全量子理论认为，各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率分别正比于（n+1）和n，这一结果被用于解释黑体辐射场的形成。本文论证了，基于上述结果的黑体辐射的全量子理论和爱因斯坦的辐射的量子理论之间存在矛盾。
证明方法是，比较两种理论下的自发辐射速率和受激辐射速率的比值。结果表明，在全量子理论下，和爱因斯坦的理论下，自发辐射速率和受激辐射速率的比值不相等。在这两种理论下，自发辐射速率和受激吸收速率的比值也不相等。这说明，爱因斯坦的辐射的量子理论和黑体辐射的全量子理论之间存在矛盾。
我认为，出现这一矛盾的原因是: 全量子理论认为，各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率分别正比于（n+1）和n。
如果假设，各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率和n值无关时，则可以解决上述矛盾。在下面的正文中，我详细论述了该假设。该假说的主要内容如下。 在不考虑自发辐射时，同一|n>态（n≠0）引发的受激吸收速率和受激辐射速率相等。将该假说应用到黑体辐射时，可以证明，不同n值的各|n>态引发的受激辐射速率都相等，各|n>态引发的受激吸收速率也都相等，和n值无关。该假说可以和爱因斯坦的辐射的量子理论很好地相容。基于该假说，可以推导出激光的各光子数态的占据概率的泊松分布。该假说表明，在讨论各|n>态的受激辐射速率和受激吸收速率时，各|n>态中的n个光子应该被看作是一个整体，而不是被看作是n个独立光子。
正文
引言
爱因斯坦的辐射的量子理论可简介如下 [1] 。考虑一个两能级原子系统，各能级的简并度为1。系统中包含三种光的辐射和吸收过程：自发辐射，受激辐射和受激吸收。三个过程的跃迁速率分别是：
自发辐射速率： AN e （1）
受激辐射速率： BN eU （2）
受激吸收速率： BN gU （3）
其中 A 为爱因斯坦自发辐射系数, B 为爱因斯坦受激辐射系数和受激吸收系数, u 为光能量密度， N e 为激发态原子数， N g 为基态原子数。热平衡态时，黑体辐射场在特定频率处的能量密度为：
U
=
(8πh
其中 h 为普朗克常数， ν 为光子频率， c 为光速，t为温度， ñ 为黑体辐射场在特定频率处的平均光子数。
在黑体辐射的全量子理论中，量子化的光场可用各光子数态|n>及其相应的占据概率 P n 描述。此时，可用式（5）描述黑体辐射中的原子-光场的相互作用。
|e> + |n> <─> |g> + |n+1> (5)
式（5）中|e>和|g>分别代表激发态和基态原子。式（5）从左到右代表受激辐射过程，从右到左代表受激吸收过程。原子的自发辐射可看作是|0>态引发的受激辐射 。|0> 态不引发受激吸收。原子-光场相互作用的全量子理论认为 [2，3] ，各|n>态引发的原子的受激辐射速率和受激吸收速率分别正比于（n+1）和n。在此基础上，全量子理论认为，在黑体辐射平衡态时，各|n>态引发的受激辐射和受激吸收速率分别为 [4-6] ：
受激辐射速率： a（n+1）P n （6）
受激吸收速率： anP n-1 或 cnP n （7）
其中，
a
和
c
是比例常数
，
其详细物理意义可参考文献中的说明，
P
n
是各|n>态的占据概率，
a/c = P
n+1
/
P
n
=
但是，下文将证明，上述的黑体辐射的全量子理论结果和爱因斯坦的辐射的量子理论存在矛盾。进一步，本文提出和论述了一个和爱因斯坦的量子理论相容的全量子理论假说，并给出了该假说的两个实际应用。
黑体辐射的全量子理论和爱因斯坦的辐射的量子理论的矛盾
根据全量子理论的式（6），黑体辐射场在特定频率处，|0>态引发的受激辐射速率为：
aP 0 （8）
式（8）应该对应爱因斯坦的辐射的量子理论中的自发辐射速率，对比式（8）和式（1）可得：
aP 0 = AN e (9)
根据全量子理论的式（6），黑体辐射场在特定频率处，各|n>态（n≠0）引发的受激辐射速率之和为：
a2
P1 + a3P2 … + a(n+1)Pn
, [即：
a2
(作者注：输入下标，有点费事。因此，本文公式中的
P1，P2,
就是
这里指出，式（10）不包含|0>态引发的受激辐射速率，也就是不包含自发辐射速率。 式（10）应该对应爱因斯坦理论中的受激辐射速率。对比式（10）和式（2），可得：
a2P 1 + 3P 2 + … + a(n+1)P n = BN eU （11）
将式（9）左边除以式（11）左边，式（9）右边除以式（11）右边，可得:
P 0 /[2P 1 + 3P 2 + … + (n+1)P n ] = A/(BU) （12）
热平衡态时，
P
n
满足玻尔兹曼分布：
P
n
= P
0
P 0 + P 1 + P 2 + … + P n = 1 （13）
P 0 = 1/ （ñ+1） （14）
ñ = P
1
+ 2P
2
+ … + nP
n
= 1/(
2P 1 + 3P 2 + … +(n+1)P n = （ P 0 + P 1 + P 2 +…+ P n ）- P 0 +（P 1 + 2P 2 + …+ nP n ） = 1 - P 0 + ñ （16）
根据式（4），可得：
A/(BU)= 1/ ñ （17）
将式（14-17）的结果代入式（12），可以验证，式(12)数学上不能成立。这说明，上述的黑体辐射的全量子理论结果和爱因斯坦的辐射的量子理论不能完全相容，存在矛盾。下面再从另一个角度证明这一点。
根据全量子理论的式（7），黑体辐射平衡态在特定频率处，各|n>态（n≠0）引发的受激吸收速率之和为：
aP 0 + a2P 1 + … + anP n-1 + a(n+1)P n （18）
式（18）应该对应爱因斯坦理论中的受激吸收速率。对比式（18）和式（3），可得：
aP 0 + a2P 1 + … + anP n-1 + a(n+1)P n = BN g U (19)
将式（9）左边除以式（19）左边，式（9）右边除以式（19）右边，可得:
P 0 /[ P 0 + 2P 1 + … + nP n-1 + (n+1)P n ] = (N e /N g ) ·A/(BU) （20)
热平衡态时，式（20）左边的分母是：
P 0 + 2P 1 + … + (n+1)P n = (P 0 + P 1 +…+ P n ) + (P 1 + 2P 2 +…+ nP n ) = 1 + ñ
(21)
热平衡态时， N e 和 N g 满足玻尔兹曼分布：
N
e
/N
g
=
将式（21）、式（22）和式（17）代入式（20），可以验证，式（20）数学上不能成立。这再次说明，现有的黑体辐射的全量子理论和爱因斯坦的辐射的量子理论存在矛盾。
在此指出，如果把式（6）和式（7）中的比例系数n和（n+1）去掉，那么根据上文类似的讨论过程，基于该假设，修正后的全量子理论和爱因斯坦的理论将可以相容，论证如下。如果全量子理论的受激辐射速率不是式（6）中的 a（n+1）P n ， 而是： aP n （23）
那么，|0>态引发的受激辐射速率仍为式（9）。按照式（23），|0>态以外的各|n>态（n≠0）引发的受激辐射速率之和为：
aP 1 + aP 2 + … + aP n （24）
上式应该对应爱因斯坦理论中的受激辐射速率。对比式（24）和式（2），可得：
aP 1 + aP 2 + … + aP n = BN eU （25）
将式（9）左边除以式（25）左边，式（9）右边除以式（25）右边，可得:
P 0 / （P 1 + P 2 + … + P n ） = A/(BU) （26）
即：P 0 /（1- P 0 ） = A/(BU) （27）
把式（14）和式（17）的结果代入式（27），可以验证，式（27）等式成立。这说明，如果各|n>态的受激辐射速率不是式（6）中的 a（n+1 ） P n ， 而是 aP n ，或者说，除了比例系数 a ，如果各|n>态的受激吸收速率只和各|n>态的占据概率有关，那么，依此修改后的全量子理论可以和爱因斯坦的量子理论相容。依据类似的讨论可以证明，如果各|n>态的受激吸收速率不是式（7）中的 a nP n-1 ，而是 aP n-1 ，那么，依此修改后的全量子理论将可以和爱因斯坦的理论相容。下面对此进一步论述。
等速率假说
我认为，出现上述矛盾的原因是: 全量子理论认为，各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率分别正比于（n+1）和n。
如果假设，各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率和n值无关时，则可以解决上述矛盾。在下面的正文中，我详细论述了该假设。该假设的另一个表述方式是， 在不考虑自发辐射的情况下，单个|n>态引发的激发态原子的受激吸收速率等于它引发的基态原子的受激辐射速率。该假设在本文中被称为等速率假说，在该假说下，黑体辐射场中 各|n>态引发的受激辐射速率为式（23），因此该假说可以和爱因斯坦的辐射的量子理论相容。它的具体内容如下。
在该假说中，仍用式（5）描述黑体辐射的原子-光场的相互作用。类比式（2），假设黑体辐射系统中各|n>态引发的受激辐射速率可写成：
B n N e P n (28)
其中， B n 为比例系数， B n 被定义为各|n>态的受激辐射系数， P n 为光场中各|n>态的占据概率。
类比式（3），假设黑体辐射系统中各|n>态引发的受激吸收速率可写成：
b n N g P n (29)
其中 b n 为比例系数， b n 被定义为各|n>态的受激吸收系数。
现有的原子-光场相互作用的全量子理论认为，各|n>态引发的受激辐射跃迁概率和受激吸收跃迁概率分别正比于（n+1）和n [2 ，3] 。通常认为，（n+1）中的1和自发辐射有关。也就是说，在不考虑自发辐射时，各|n>态（n≠0）引发的受激辐射跃迁概率和受激吸收跃迁概率相等。 由于本文已把自发辐射看作是|0>态引发的受激辐射，并且把它和各|n>态（n≠0）引发的受激辐射分开讨论，所以在讨论各|n>态（n≠0）引发的受激辐射概率时，不需要考虑自发辐射。 因此，依据现有的原子-光场相互作用的全量子理论，各|n>态（n≠0）引发的受激吸收和受激辐射跃迁概率相等，即：
B n = b n （30）
即：各|n>态（n≠0）的受激辐射系数等于它的受激吸收系数，这是本文提出的等速率假说的基本内容。另外，如果根据爱因斯坦的辐射的量子理论 [1] ，那么，也可以立刻得到： B n = b n 。或者，根据原子-光场相互作用的半经典理论 [7] ，也可得出 B n = b n 。总之，现有的全量子理论和半经典理论都支持： B n = b n 。
根据式（28）和式（29），式（5）中的受激辐射速率和受激吸收速率分别是：
受激辐射速率： B n N e P n (31)
受激吸收速率： b n+1 N g P n+1 (32)
黑体辐射平衡态时，系统中的原子数和各|n>态的数量不随时间变化，式（5）中的受激辐射速率应该等于受激吸收速率，即应满足：
B n N e P n = b n+1 N g P n+1 （33）
热平衡时，原子数和
P
n
都符合玻尔兹曼分布，即：
N
e
/N
g
=
P
n+1
/P
n
=
B n = b n+1 （34）
结合式（30）和式（34），可得：
b n = B n = b n+1 = B n+1 = b 0 (35)
即：对于不同的n值，各|n>态的受激辐射系数和受激吸收系数都相等，和n值无关。或者说，同一|n>态（n≠0）引发的受激辐射速率和受激吸收速率相同；各|n>态（n≠0）引发的受激辐射速率都相等，各|n>态引发的受激吸收速率都相等，和n值无关。该结果意味着，一个|n>态虽然包含n个光子，但一个|n>态引发的受激辐射速率和受激吸收速率却等于一个光子引发的受激辐射速率和受激吸收速率，也等于一个|0>态引发的受激辐射速率（即：自发辐射）。这一结果也被称为等速率假说，并等价于式（30）。下面讨论该假说与爱因斯坦的量子理论的相容性。
等速率假说和爱因斯坦的理论的相容性
设： b = b n = B n = b 0 。在上述等速率假设下，按照式（31），黑体辐射场在特定频率处,|0>态引发的受激辐射速率可写为：
bN e P 0 （36）
由于|0>态引发的受激辐射对应爱因斯坦理论中的自发辐射，因此式（36）应该对应式（1）中的自发辐射速率，因此可得： bN e P 0 = AN e ，即：
bP 0 = A (37)
在等速率假设下，系统中|0>态以外的各|n>态 (n≠0) 引发的受激辐射速率之和为：
∑bN e P n = bN e (P 1 + P 2 + … + P n ) （38）
式（38）应该对应爱因斯坦理论中的受激辐射速率。对比式（38）和式（2），可得：
bN e (P 1 + P 2 + … + P n ) = BN eU （39）
即： b(P 1 + P 2 + … + P n ) = BU （40）
将式（37）左边除以式（40）左边，式（37）右边除以式（40）右边，可得:
P 0 / （P 1 + P 2 + … + P n ） = A/（BU） （41）
式（41）就是式（26） 。所以，式（41）等式成立。这说明，本文提出的等速率假说和爱因斯坦的辐射的量子理论在上述讨论范围内相容。式（33）的有关论述表明，在热平衡态时，等速率假说满足式（5）的辐射和吸收的平衡条件。
式（7）表明，现有的全量子理论隐含了下面的结论：各 |n> 态中的n个光子中的每个光子，能够引发原子的受激吸收跃迁的能力是相同的；n个光子之间可能是相互独立的，相互之间没有任何影响，不会彼此增强或减弱引发受激吸收的能力，因此，每增加一个光子，受激吸收速率就会增加一倍。但 本文的论述说明，上述全量子理论的隐含结论可能不正确。本文提出的等速率假说认为，对于不同的n值，各|n>态引发的受激吸收速率都相等，和n的大小无关。也就是说，一个|n>态虽然包含n个光子，但一个|n>态引发的受激吸收速率却等于一个光子引发的受激吸收速率。因此，在讨论各 |n> 态的受激吸收速率和受激辐射速率时，各|n>态中的n个光子可能应该被看作是一个光子或一个整体，而不是被看作是n个独立光子。
等速率假说的应用：推导 激光的各光子数态的占据概率的泊松分布
通常认为，理想稳态单模激光的各光子数态的占据概率符合泊松分布
[4]
。作为等速率假说的一个应用，在此推导出这一分布。推导基于以下条件：激光为二能级理想原子系统，Ne>>Ng。在此条件下，可以忽略受激吸收过程。假设系统辐射场初始为黑体辐射场。此时在辐射场中，|0>态的占据概率最高。比如在室温时,光频范围内的平均光子数极少
[6]
,约
k = 1/N (42)
其中， N 是激光腔在特定频率处的驻波模式数。假设某时刻辐射场中的总光子数为m。 辐射场中各|n>态的占据概率 P n 是 ， 即：每个驻波模式的光子数增长到n的概率 P n 是：
P
n
= {
m!/[n!(m-n)!]}
在m很大，
k
很小，而且
mk
乘积大小适中时，式（43）可用泊松分布作近似
[8]，即：
Pn
=
其中，平均光子数为 ñ = m/N = mk 。从而从等速率假说得到激光的各|n>态的占据概率为泊松分布。
等速率假说的应用：解释激光的饱和吸收效应
等速率假说也可以解释激光的饱和吸收效应。激光的饱和吸收效应是，激光照射吸光物质时，物质的吸光系数随着光强的增加而减小。对此效应的通常解释是，随着激光光强的增加，物质的基态和激发态粒子数差值减小，从而引起吸光系数的降低 [9，10] 。上面的解释具有一定的合理性，但基于本文提出的机理，也可以解释激光引起的饱和吸收效应，或者说，等速率假说可能是饱和吸收效应的原因之一。讨论如下。
根据等速率假说，吸光物质对光吸收的速率等于光场中各 |n> 态引起的 物质中原子的受激吸收速率之和。按照式（32），光场中各 |n> 态引起的 物质中原子的受激吸收速率为：
bN g P n （45）
其中， N g 是吸光物质中的基态原子数。因此，物质对光的总吸收速率是，光场中各 |n> 态引起的 原子的受激吸收速率之和。这个总吸收速率是：
∑bN g P n = bN g (P 1 + P 2 + … + P n ) = bN g (1 - P 0 ) = bN g ñ /( ñ +1) （46）
根据式（46），总体上，总吸收速率随着
ñ
的增大而增大。
ñ
很小时，比如，
ñ
小于
下面根据通常的全量子理论的式（7），计算一下吸光物质对光吸收的速率。按照式（7），光场中各|n>态引起的原子的受激吸收速率为： anP n-1， 其中 (n ≠ 0) 。 因此，物质对光的总吸收速率是，光场中各|n>态引起的原子的受激吸收速率之和。这个总吸收速率是：
∑an P n-1 = a [ P 0 + 2P 1 + … + nP n-1 + (n+1)P n ] = a( ñ +1) （47）
式（47）表明，如果根据通常的全量子理论，物质对激光的的吸光系数或吸收速率，应该随着激光光强的增加而增大，即应该随着ñ 的增大而增大。这和实验事实不符。实验事实是，物质对激光的的吸光系数，随着激光光强的增加而降低，即，激光饱和吸收效应。以此也可知，现有的黑体辐射的全量子理论可能存在缺陷，即，全量子理论的式（6）和式（7）中的结果，可能有缺陷。
结论
黑体辐射的全量子理论认为，在黑体辐射平衡态， 光场中各光子数态|n>引发的受激辐射速率和受激吸收速率分别正比于 （n+1）P n 和 nP n-1 。本文证明了该结论不能和爱因斯坦的辐射的量子理论相容，从而表明，现有的原子-光场相互作用的全量子理论和爱因斯坦的辐射的量子理论可能存在矛盾。本文提出了等速率假说：在不考虑自发辐射时，同一|n>态（n≠0）引发的受激吸收速率和受激辐射速率相等；不同n值（n≠0）的各|n>态引发的受激吸收速率都相等，和n值无关；不同n值（n≠0）的各|n>态引发的受激吸收速率都相等。该假说和爱因斯坦的辐射的量子理论能够很好地相容,解决了黑体辐射的现有的全量子理论和爱因斯坦的理论之间的矛盾。该假说满足黑体辐射平衡态时的辐射和吸收的平衡条件。该假说在爱因斯坦理论的基础上，进一步描述了黑体辐射的形成机理。基于该假说，可以推导出激光的各光子数态的占据概率的泊松分布,。该假说表明，在讨论各|n>态的受激辐射和受激吸收速率时，各|n>态中的n个光子应该被看作是一个整体，而不是被看作是n个独立光子。
参考文献
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Incompatibility between the fully quantum theory and Einstein's quantum theory of blackbody radiation and the solution
Abstract: The current fully quantum theory of blackbody radiation suggests that the atomic stimulated absorption and emission rates induced by the photon number state |n> are proportional to the value of n and n+1. However, this article proves that this theoretical result is incompatible with Einstein`s quantum theory of blackbody radiation, and proposes a hypothesis that can solve the above incompatibility. One main concept of the proposed hypothesis is that the stimulated emission and absorption rates of each |n> state are all same, independent of the n value. Based on the hypothesis, the Poisson distribution of the occupancy probabilities of photon number states of laser can be derived.
