从某个方面上讲，法国数学家韦达是研究方程的先驱

2024-07-31科学

弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540－1603），法国数学家，在欧洲被尊称为「代数学之父」。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

对法国人而言，16 世纪不是一段幸福的时光。弗朗索瓦一世（1515~1547 年在位）统治的大部分时间以及大部分国家财富消耗在了与神圣罗马帝国皇帝查理五世的战争中。1559 年，卡托 – 康布雷齐和约缔结，战争告一段落。然而，这个军队几乎消耗殆尽的国家还来不及喘息，法国天主教徒和后来通常被称为胡格诺派的新教徒就开始互相残杀。

直到 1598 年南特敕令颁布之后，他们才停止战争，或者从某种程度上说，法国暂停战争达 87 年。在此之前的 36 年里，法国爆发了 8 次内战，经历了一次朝代更迭（波旁王朝取代了瓦卢瓦王朝）。这些战争并非纯粹的宗教战争，地域情结、社会阶层以及国际政治等诸多因素都是这些战争的诱因。西班牙国王腓力二世，历史上最大的滋事者之一，竭尽全力把时局搅乱。至于社会阶层，胡格诺教徒在城市中产阶级中势力强大，而且有大概一半的贵族也是新教徒。相比之下，在大部分地区，农民仍然是天主教徒。

1540 年，韦达出生在一个胡格诺教徒家庭，他的父亲是一名律师。 1560 年，他从普瓦捷大学毕业，获得法学学位。在他毕业后不到两年，法国宗教战争就开始了，其标志事件是香槟地区瓦西镇的胡格诺教徒遭到屠杀。

韦达后来的职业生涯受到了战争的影响。他放弃了律师工作，成为一个贵族家庭的家庭教师。随后他在 1570 年搬到巴黎，很明显他希望得到政府的雇用。当时年轻的查理九世在位，但是他的母亲凯瑟琳·德·美第奇（她也是西班牙国王腓力二世的岳母）才是真正的掌权者。为了保持王权强大且不受制于各种势力，她挑拨胡格诺教徒与天主教徒之间的关系。这决定了整个 16 世纪 60 年代到80 年代法国的历史进程，而且其间经常发生荒谬的事情。韦达在巴黎时，正是查理九世批准于圣巴托罗缪之夜（1572 年 8 月 24日）开始屠杀胡格诺教徒之时。然而在第二年，韦达这个胡格诺教徒却被国王任命为布列塔尼地区的政府官员。

查理九世在 1574 年去世，凯瑟琳的第三个儿子亨利三世继位。六年后，韦达回到巴黎担任这位国王的顾问。然而，凯瑟琳最小的儿子死于 1584 年，这导致瓦卢瓦王朝没有了继承人。虽然亨利三世已经结婚，而且只有 33 岁，但是他常常穿戴奢华，爱在宫廷里穿女装。人们认为他不太可能生儿子。因此，他的远亲——波旁家族纳瓦拉王国的亨利就成了王位的合法继承人。但是，亨利是一个新教徒，这让法国内外的天主教徒感到恐慌。宫廷内的明争暗斗变得更加激烈。韦达被迫离开，不得不在布尔讷夫湾的滨海博瓦尔小镇上的家里休了五年的长假。 1584 年到 1589 年的这段时间是韦达数学创造力的鼎盛时期，当时他已经快 50 岁，能在数学上有这样的创造力真是奇迹。 当时，法国宫廷的政治斗争错综复杂，以至于数学史学家很难知道该感谢谁。

就在韦达返回宫廷的四个月后，亨利三世被暗杀，他是在马桶上被刺死的。纳瓦拉王国的亨利成为亨利四世，成为波旁王朝的第一位国王。这位新国王是一名新教徒，这对韦达很有利，韦达很高兴成为新国王的随从。然而，即便天主教徒们无法就王位的竞争候选人达成一致，他们也不会让亨利四世顺利继位。西班牙国王腓力二世非常喜欢自己的女儿，为了她的利益同法国宫廷中的派系暗中勾结。这些密谋都是用密码写在信件上的。亨利发现身边有韦达这位数学家，便派他去破译西班牙人的密码。经过几个月的努力，韦达破译了这些密码。当腓力二世得知他自认为不可破解的密码已被破译时，他向罗马教皇抱怨说亨利使用了魔法。

韦达一直辅佐亨利四世，直到 1602 年 12 月他被宫廷免职。然后他回到家乡，在此一年后就去世了。

除了成功破译密码，韦达在为宫廷服务期间在数学上取得的辉煌成就发生在 1593 年。那一年，佛兰德斯数学家阿德里安·范·罗门（1561—1615）出版了一部名为【理想的数学】的著作，书中有一篇关于当时所有杰出数学家的调查。荷兰驻亨利四世宫廷大使向亨利指出，该书中一个法国人也没有列出。为了说明这一点，他给国王展示了罗门的书里的一个问题，作者为这个问题的解答设立了奖励。这个问题是求解一个数 x ，使其满足一个一元 45 次方程：

显然，这位外交官（他似乎不善于外交）是在嘲笑没有一个法国数学家会解这个问题。亨利派人找来韦达，韦达当场就求出一个解，并且在第二天又给出了 22 个解。

当然，韦达知道罗门不是随意给出这个方程的，它一定是一个罗门自己知道如何求解的方程。在那个时代，韦达有着丰富的三角学知识，而三角学正是当时发展迅猛的一个数学分支。他的前两本书就是三角函数表大全。三角学是研究圆的弧长和弦长之间的数量关系的学问，其中全都是正弦、余弦及其幂的长公式。韦达根据这个方程前几项的系数快速心算后，得出他面前的式子就是将 2sin45 α 表示成 x = 2sin α 的多项式。于是，三角学帮他求出了解。（至少帮他求出了 23 个正数解。还有 22 个负数解，韦达忽略了它们，显然是因为他认为负数没有意义。）

韦达 40 多岁时，在海边流放的五年里写成了一部名为【分析引论】（ In artem analyticem isagoge ）的著作。该书表明了代数学向前迈进了一大步，同时也向后倒退了一小步。向前的一步是指他第一次系统地使用字母来代表数。这个想法的萌芽可以追溯到丢番图，但是韦达是第一个有效地分配字母、使一套字母可以代表许多不同的量的数学家。 这就是现代字母符号体系的开端。

韦达的字母符号体系不同于以往的所有方案，它不仅仅局限于表示未知量。他把量分成两大类：一类是未知量，也就是「要求的量」（quaesita）；另一类是已知量，也就是「给定的量」（data）。他用大写元音字母 A、E、I、O、U 和 Y 表示未知量，用大写辅音字母 B、C、D 等表示已知量。例如，方程 bx ² + dx = z 用韦达的字母符号体系表示为：

B in A Quadratum, plus D plano in A , aequari Z solido.

这里的 A 是未知量，就是我们现在的 x 。其他符号都是已知量。

方程中出现的「plano」和「solido」就是我上面提到的倒退的一步。韦达深受古代几何学的影响，他希望代数能够严格地建立在几何概念之上。在他看来，这迫使他遵循 齐次性原则 ，也就是说，方程中的每一项必须具有相同的维度。除非另外说明，否则每个符号都代表一条适当长度的线段。在上面给出的方程中， b 和 x （韦达的 B 和 A ）都是一维的。于是 bx ² 就是三维的。因此 dx 必须也是三维的，同理， z 也是三维的。因为 x 是一维线段，所以 d 必须是二维的，因此是「 D plano」。类似地， z 必须是三维的，因此是「 Z solido」。你能明白韦达的意思，但是这个齐次性原则限制了他的手脚，导致他的代数的某些部分难以理解。这似乎有点儿奇怪，一个能巧妙求解 45 次多项式方程的人居然被古典几何和三个维度牢牢地束缚住了。

韦达对方程的处理在某些方面不如邦贝利「时髦」。他反对负数，不承认负数是方程的解。他对复数的态度甚至更落后。他仅在一本关于几何学的书中处理过三次方程，在那里，他基于用 sin α 表示 sin3 α 的公式提出了一种三角学解法。

不过，从某个方面上讲，韦达是研究方程的先驱，他点燃的蜡烛在 200 年后成为一座巨大的灯塔。 在他的有生之年，这个特别的发现没有被发表。在他去世 12 年后，他的苏格兰朋友亚历山大·安德森（1582—1619）发表了他的两篇关于方程理论的论文。在题为【论方程的整理和修正】的第二篇论文中，韦达开创了一条研究方程的解的对称性的道路，也为伽罗瓦理论、群论和近世代数的诞生开辟了道路。

考虑二次方程 x ² + px + q = 0。假设方程的两个根是 α 和 β ，也就是使这个方程成立的两个数。如果 x 是 α ，或者 x 是 β ，并且 x 不是其他数，那么下面的等式一定成立