内容提要
本文讲述了如何利用欧几里得用平面几何方法证明的命题解一元二次方程，解法别开生面，独具一格。
接下来拓展介绍了南宋数学家杨辉解一元二次方程的古法：四因积步法。
最后总结了古法的步骤，负根的意义并点评了古人的局限。
从【几何原本】的命题谈起
集大成也者，金声而玉振之也。
——【孟子·万章下】
欧几里得可谓古希腊数学之集大成者。在他编写的【几何原本】第二卷中有下面两个命题：
命题05 若一直线既被截成相等的线段又被截成不相等的线段，则不相等线段所围成的矩形与两截点之间直线上的正方形之和等于一半直线上的正方形。
设直线AB在点C被截成相等的线段，在点D被截成不相等的线段。
我说，AD、DB所围成的矩形与CD上的正方形之和等于CB上的正方形。
命题06 若将一条直线二等分且沿同一直线给它加一条直线，则整条直线与加上的直线所围成的矩形以及原直线一半上的正方形之和等于原直线一半与加上的直线合成的直线上的正方形。
设直线AB被二等分于点C， 且沿同一直线给它加上直线BD； 我说，AD、DB所围成的矩形与CB上的正方形之和等于CD上的正方形。
这两个命题是用文字语言叙述的，改为数学语言叙述就清晰易懂了。
命题5相当于下面的恒等式。
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命题6相当于下面的恒等式。
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对于x(b-x)=c这种类型的一元二次方程，可以用命题5来解方程。
对于x(b+x)=c这种类型的一元二次方程，可以用命题6来解方程。
已知一条线段AB长度是b，中点是C，求动点D的位置：(1)点D在线段AB之内，且与中点C不重合，AD·BD=c;
(2)点D在线段AB的延长线上AD·BD=c.
接下来用例题来说明上述解法。
例一 设线段AB的长度为12，点D是AB上的一点。设AD为x，则DB为12-x，AD·DB=32，求AD的长度。
解 据题意可列方程
x(12-x)=32
可用命题5解这个方程。
令a=12-x，b=x，则a-b=12-2x，a+b=12，已知ab=32，代入命题5的恒等式，得
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解得两根为4和8。
例题2 线段AB的长度为12，点D是AB延长线上的一点。设BD为x，则AD为12+x，AD·BD=64，求BD的长度。
解 据题意可列方程
x(12+x)=64
可用命题6解这个方程。
将a=12，b=x，(a+b)b=x(12+x)=64代入命题6的恒等式，得
(6+x)²=64+36
6+x=±10
x₁=4，x₂=-16
2019年武汉市元调数学考题第9题
9．古希腊数学家欧几里得的【几何原本】记载，形如x²+ ax =b²的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC , ∠ACB =90°, BC =a/2, AC = b ，再在斜边 AB 上截取 BD =a/2，则该方程的一个正根是（ )
a . AC的长
b . BC的长
c. AD的长
D . CD的长
答案是选c。令BC=6，AC=8，则AB=10，方程x²+12x=8²的一个根是10-6=4
杨辉解方程
1275年，中国南宋数学家杨辉在【田亩比类乘除捷法】中提出一个问题:「直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?
杨辉解法 解
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由上图得恒等式
(a+b)²=(a-b)²+4ab
把ab=864，a-b=12代入恒等式，得
(a+b)²=144+3456
=3600
所以a+b=60
解二元一次方程组(小学和差问题)
{a+b=60；
a-b=12.}
解得a=36，b=24.
答：直田长36步，宽24步。
本题数字设计很巧，提供了一个表演速算的素材。
问一天等于多少秒？
答：24×60×60=3600×24=36×24×100，而
36×24=(30+6)(30-6)=30²-6²=900-36=864
所以一天等于86400秒。
中国古代数学家还用这样的方法解二次方程：
{x₁+x₂=a；
x₁x₂=b.}
x₁和x₂是方程的两个根，是未知数，a和b是已知数。
设x₁为a，x₂为b，x₁>x₂，利用恒等式(a+b)²=(a-b)²+4ab解上面的二元一次方程组，得
a²=(x₁-x₂)²+4b
(x₁-x₂)²=a²-4b
解得
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实际上就推导出了求根公式。
总结和点评
代数的发展可以分为三个阶段，即文字叙述的代数和简字代数及符号代数。【数学辞海】某一卷附录收录了1400多个数学符号。而欧几里得大约出生于公元前325年，在那个年代代数不发达，没有适当的代数符号。古希腊人用线段的长度表示数，用文字叙述运算过程，擅长用巧妙的几何法证明代数恒等式。
【几何原本】第二卷命题4就是用几何法证明代数恒等式：(a+b)²=a²+2ab+b²
命题04 若任截一直线，则整条直线上的正方形等于各线段上的正方形与两线段所围成矩形的二倍之和。
设直线AB被任截于点C； 我说，AB上的正方形等于AC、CB上的正方形与AC、CB所围成矩形的二倍之和。
命题5证明了另外一个重要的恒等式(a+b)²=(a-b)²+4ab的变式。
还有一个变式：
用命题4解一元二次方程大家都熟悉，就从略。用命题5解一元二次方程的步骤如下：
先把方程改写成x(b±x)=c的形式。设x为a，b±x为b，根据题目条件求出a和b的和、差、积。再把上述和差积代入恒等式，可以知二求一。把方程降次为两个一次方程就解得a和b了。
例题三 解方程x²+10x=39.
解 原式可以改写成：x(10+x)=39
则a+b=10+2x，a-b=10，ab=39，代入恒等式得
(2x+10)²=10²+4×39=256
两边同时开平方，
2x+10=±16
∴x₁=3，x₂=-13
阿拉伯数学家和欧洲数学家在历史上曾经不承认和排斥负数，所以常认为方程的负根无意义而舍弃。那么，问题来了，这个方程的负根有没有意义？
根据欧几里得的命题，负根有意义。
线段AB在正方向的延长线上有一点D，已知AB=10，设BD=x，则AD=10+x。又知道BD和AD围成了面积为39的长方形，求BD的长度。
方程的两根告诉我们，从点B出发，沿正方向延长3就找到符合题意的点D，或沿反方向前进13，也可以得到符合题意的点D。有向线段的长度，正方向为正，反方向为负。这就是负根的意义。线段AB的中点是C，站在中点C的角度看，方程的两根是关于中点对称的。总之，方程的负根是有意义的。
此外，代数基本定理告诉我们，二次方程的根不少于两个，也不多余两个，恰好有两个根。好比一枚硬币有两面。特例是判别式等于零，方程有两个相同的重根。好比硬币的两面都是一样的。
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古人受到时代的局限，对此认识不足。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
