这是一道19 81年的中考题,当年我们的老师不会做,此题在江苏人教版81年数学教科书的最后一页,你会吗?
在正方形ABCD中有一点P,连接PA,PD,PB,PC,使∠PAB=∠PDA=15°,试证明△PBC为正三角形。
图一
当年这一道题难住了我们绝大多数考生,连老师也不会。中考中居然也出现了。好在我们学习小组在最后的攻关中解决了,在此分享一下。
证明:在正方形ABCD内,沿CD边找到一点G,使∠GDC=∠GCD=15°,见图二
∵正方形ABCD,
∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,
∵∠PAD=∠PDA=15°,
∴PA=PD,∠PAB=∠PDC=75°,
在正方形内由于△DGC与△ADP全等,
∴DP=DG,∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°
故∠PDG=90°-15°-15°=60°,
图二
∴△PDG为正三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是正三角形),
∴DP=DG=PG,
∵∠DGC=180°-15°-15°=150°,
∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC,
在△DGC和△PGC中
DG=PG,∠DGC=∠PGC,GC=GC
∴△DGC≌△PGC,
∴PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°,
同理PB=AB=DC=PC,
∠PCB=90°-15°-15°=60°,
∴△PBC是正三角形.