開啟愉快的旅程
生活中，我們會遇到很多不斷「連續變化的量」，例如我們開車上路時，汽車的裏程是在連續不斷變化著的，裏程表上的公裏數值一直在上升。雖然某一時刻都對應著一個具體的裏程值，但這個裏程值並不是孤立存在的，它有變化能力，這個變化能力具體是多大呢？
裏程在上升，上升得有多快呢？
我們可以看下速度表，某一時刻速度表上的數位，就是該時刻裏程的變化能力，這個變化能力我們也稱之為「變化率」，例如一小時能上升30公裏的裏程。
速度就是裏程變化快慢的度量，即裏程的變化率
數學的角度，怎麽計算出這個變化率呢？如果汽車是直線勻速行駛的，我們只需用小學的除法，就可以簡單計算出來：總裏程÷行駛所用時間=速度，速度就是某時刻裏程上升快慢能力的具體數值。
勻速運動，用普通除法就能算出變化率
現實中車輛的速度，是時快時慢的，要求出某個時刻的對應速度，普通除法搞不定（普通除法只能得到速度的平均值），這時就需要用到更高一級的特殊除法：導數。導數是把除法加入極限思維後的一種計算方法，目的就是用來求出變化率。
還是以汽車的裏程變化快慢為例，總裏程÷行駛所用時間=平均速度，這個比值關系式裏，如果「行駛所用的時間」無限接近零，那麽所求出的比值，就無限接近該時刻的真實速度值，也就是計算出這個比值在分母部份趨於零時，無限接近的那個數值，就得了速度。這種計算比值極限的方法，就是導數。
導數的定義
求出汽車裏程的導數，就得到了速度。
那裏程的微分，又是什麽呢？用某時刻對應的速度，乘以一段時間的改變量，就是該時刻裏程的微分，例如在行駛到0.5小時的時候，假設此時對應的速度為56公裏每小時，則此時刻對應的裏程微分運算式，就是：此時刻路程的微分=56×時間改變量，時間改變量的值可以任意取，例如取0.3小時，具體的微分值就是56×0.3=16.8，註意汽車繼續行駛了0.3小時後，實際的裏程並不一定是16.8公裏，因為速度是變化的，而不是一直保持在56公裏每小時不變，所以某時刻裏程的微分，就是以該時刻的速度為基礎，所計算出來裏程變化量的近似值，這個近似值與真實值顯然存在著誤差，當時間改變量的取值無限接近接近零時，這個誤差也將無限接近零，而且它接近零的程度，比時間改變量自己接近零的程度還厲害，數學上稱為「更高階」。從函式影像上看，某時刻裏程的微分，就是裏程函式的曲線，在該時刻的切線的上升高度。
函式曲線上某點對應於自變量改變量的微分，就是該點切線的變化高度dy，它是曲線實際變化高度△y的近似值
利用裏程的變化率，也就是速度，得出微分運算式後，就可以反過來可以求出實際的裏程，方法就是「積分」運算 ，也就是變化率的逆運算——求出原函式，類似於乘除法互為逆運算，其實乘除法可以看成是微積分運算的特殊情況，即在變化率固定不變時的運用。
數學 ，就是這麽有趣。
