這恰恰就是數學之所以是數學

2024-08-29科學

數學可以被定義為一門學科，在這門學科中，你永遠不知所言為何物，也不知所言之物是否為真。

——羅素

1901 年，英國邏輯學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）發表了一篇文章，他在文中寫道：「數學可以被定義為一門學科，在這門學科中，你永遠不知所言為何物，也不知所言之物是否為真。」這一評價既清晰又生動。羅素不僅沒有將數學的不確定性視作有害的，而且還字字句句地大聲宣告，這恰恰就是數學之所以是數學！

而我們可以相信羅素的話，他知道自己在說什麽。羅素對數學的根柢了如指掌。在寫下這句話十年後，他與同仁艾爾弗雷德·諾思·懷特海（Alfred North Whitehead）合著了【數學原理】（Principia Mathematica），他在書中提出的公理奠定了數學作為一種統一的理論的基礎。如果說，歐幾裏得用五個公設構建了整個幾何學，那麽羅素和懷特海就把整個數學囊括進了他們的理論中，從幾何到代數，從牛頓使用的向量到康托爾集，甚至還有在撰寫【數學原理】時尚未定論的理論，比如碎形，都可以在兩人的理論框架中得以構建。

總之，如果羅素說數學不知自己所言為何物，那麽我們可以透過傾聽數學的所言之物得到諸多啟發。此外，只要仔細想一想，你就會覺得這並不讓人感到意外。這場旅途中的一些線索，應該讓我們心懷警惕。模糊在數學中扮演關鍵角色，已有時日。

你應該還記得美索不達米亞的書吏及他們沒有零和小數點的體系。他們也不知道自己所言為何物。在寫下 12×8 = 96 時，他們說的可能是120×8 = 960 或 1200×80 = 96 000，又或是 0.12×0.8 = 0.096。模糊已經出現，書吏們不僅沒有視之為妨礙，反而加以利用。借助這種模糊，他們理解了乘法的一個基本特性，而這一特性在後來又被納皮爾及其所有後繼者所利用。

數位的概念本身就帶有不確切性。 自打學者們讓數位成為獨立於計算物件而存在的虛構實體時起，他們就不再知道自己計算的為何物了。在寫下 2 + 3 = 5 時，你並不知道這是在加巧克力、千米、書，還是什麽都沒加。但這個等式是正確的。

阿根廷作家豪爾赫·路易士·波赫士（Jorge Luis Borges）在1942 年發表的短篇小說【博聞強記的富內斯】（Funes el memorioso）中講述了一個年輕人的故事，這個年輕人因為擁有超群的記憶力，所以無法忽視其他人無法看到或覺得無關緊要的眾多細節。超群的記憶力非但沒有成為一種優勢，反而因為主人公無法意識到自己所見世界的不同之處，很快變成了嚴重障礙。這個年輕人無法用同一個詞來指稱不同的事物，他很難接受在某一刻從側面看到的一條狗和一分鐘後從正面看到的一條狗具有相同的名稱。波赫士寫道：思考，是忘記差異，是概括、抽象。無法忘記的富內斯也就無法思考了。

模糊的關鍵在於不變的概念。物件各有不同，但由於存在共同點而理應具有相同的名稱。情況各有不同，但可能以相同的方式運轉。研究這些共同點和運轉方式，相當於一下子想到千百種不同的事物，卻不知所言為何物。這麽做絕非徒勞之舉，而是一個豐富的過程，可以引導我們對世界具有全面和深刻的了解。

我們所說的模糊、不精確或模棱兩可，實際上有一個我們已經知道的名字：抽象。字詞對我們的影響大到令人難以想象。你看，我們之所以不認得「抽象」這個舊相識，只是因為叫法不同。它不應該讓我們感到害怕。正是它，自我們開始探索宇宙的內部運轉機制以來，就一直支持和陪伴著我們。

抽象這只怪獸比我們到現在為止所能夠想象的要強大得多。從一開始，模糊就在那裏。模糊不是毫無預兆地冒出來的，它在數學思維的發端就站在了我們面前。然而，學會認清模糊，並意識到模糊王國的規模，還需要很長一段時間。

抽象之於觀念就像什錦蔬菜之於蔬菜：一種將多個不同之物集合在統一名稱之下的方法。此外，「什錦蔬菜」（macedonia）一詞源自希臘半島東北部的一個地區（即馬其頓，Macedonia），那裏以多民族混居而聞名。因此，抽象推理的先驅之一——亞里斯多德在那裏誕生也就不足為奇了。

公元前 4 世紀，在國王腓力二世的推動下，馬其頓王國經歷了一段繁榮期。腓力二世進行了數次改革，並在公元前 338 年的喀羅尼亞戰役中征服了雅典和底比斯，從而成為希臘的統治者。亞里斯多德於公元前 384 年出生在斯塔基拉，這是最早被馬其頓王國征服的城市之一，位於斯泰瑞蒙灣的海岸。腓力二世對這位學者頗為贊賞，並把自己的兒子，也就是未來的亞歷山大大帝托付給他教育。

後來，亞里斯多德傾其一生創作了一部令人嘆為觀止的著作，這部著作產生了巨大的影響。事實上，它的影響太過巨大。亞里斯多德的許多錯誤將被反復教授，在數百年間從未受到過任何質疑。他以地球為宇宙中心的理論在很長一段時間裏阻礙了哥白尼、克卜勒和伽利略的思想的問世。

在亞里斯多德的眾多著作中，我們可以特別關註一下【工具論】。這是一本論述推理和邏輯藝術的文集，尤其闡述了從假設中得出結論的不同規則。這些規則被稱為「三段論」。以下是最著名的三段論之一：

凡人皆有一死；

希臘人都是人；

因此，希臘人皆有一死。

你肯定同意這個推理是完全正確的。你也可以透過直觀地描述凡人、人和希臘人來說服自己相信這一推理（圖 4.12）。

顯然，「希臘人」包含在「人」的圈子裏，「人」又包含在「凡人」的圈子裏，「希臘人」除了也是「凡人」之外別無選擇。要理解亞里斯多德的推理方法，就必須區分推理的正確性和所陳述事實的正確性。

比如，讓我們來看看下面這個新的三段論：

所有的哺乳動物都有鱗片；

如麗是哺乳動物；

因此，如麗有鱗片。

這幾句話是完全錯誤的，但推理卻是正確的！再仔細看看這三句話，你會發現，最後一句的確是前兩句的邏輯結果。要說一個推理是正確的，則意味著其結論在邏輯上是基於其假設的。但是，當然了，如果假設是不確切的，那麽結論也是不確切的。

在對三段論的研究中，亞里斯多德關註的不是假設的正確性，而是推理的正確性，而後者並不取決於談論的物件。 換句話說：你不一定要知道所言為何物，就能進行正確的推理。 上述兩個三段論完全可以簡化為下面這種形式：

任何玩意兒皆為東西；

家夥皆為玩意兒；

因此，家夥是東西。

你看，這是一個完全正確的推理。你無須知道什麽是「玩意兒」「東西」和「家夥」，那是多余的資訊。無論你賦予這三個詞什麽意思，如果兩個假設都是正確的，那麽結論也必然是正確的。而這不僅適用於這個特定的三段論，而且適用於所有有效的推論。

想象一下，有兩個人正在看以上推理。對第一個人，我們告訴他「玩意兒 = 人，東西 = 凡人，家夥 = 希臘人」。對第二個人，我們告訴他「玩意兒 = 矩形，東西 = 四邊形，家夥 = 正方形」。即使這兩個人所說的不是同一件事，但他們都會同意這個三段論的說法。我們面對的就是一個誤解（圖 4.13）。

現在，讓我們回到一個熟悉的例子上：歐幾裏得的【幾何原本】。書中的五個公設說的是點、線、圓、直角和平行線，但假設一個人為這些詞賦予了不同的含義，他會對此有所察覺嗎？根據亞里斯多德的說法，這對證明的正確性不會有任何影響。無論我們對歐幾裏得所用的詞匯做出怎樣的解釋，他的論據本身都是正確的。

為了很好地理解這個原則，讓我們重寫一下五個公設，但要用更為模糊的字眼：

1. 從一個東西的任意玩意兒到另一個玩意兒可引且只能引一條家夥；

2. 任意有限的家夥可沿這個家夥無限延長；

3. 給定任兩個玩意兒，可以一個玩意兒為心、到另一個玩意兒為半徑作那啥；

4. 所有雜亂都彼此相等；

5. 給定一條家夥，透過此家夥外的任何一個玩意兒，有且只有一條家夥與之平行。

你看，我們完全不知道所言為何物了。現在想象一下，一個人為「玩意兒」「東西」等詞賦予了不同的含義，但在他的闡釋中，五個公設仍是正確的。那麽，你可以把歐幾裏得的整本【幾何原本】都念給他聽，他絕對不會提出任何異議。因為對這個人來說，最初的假設是正確的，既然歐幾裏得的推理是正確的，那麽我們所說的不是同一件事也就無關緊要了，結論在這個人看來是正確的。