我們來玩個遊戲...
任意挑選一個正整數。如果它是一個奇數，那麽就乘以3再加1。如果它是一個偶數，那麽就除以2。對得到的新數位做同樣的事，一直這樣做。如果你在某一時刻得出了數位1，那麽就停止。
我知道這可能不是世界上最有趣的遊戲，但請你多玩一會兒。我向你保證，這將是很有趣。
例如，如果我們從7開始，我們會得到下面的數列（從現在開始，我們稱它為科拉茨序列）。
如果我們從19開始，我們得到：
請註意，在某一時刻，我們在上述兩個序列中都得到了數位22，因此它們的「尾巴」是一樣的。
問題是： 我們總是在1處結束嗎？
信不信由你，上述問題是一個深奧的謎題。盡管很多非常聰明的數學家做出了巨大的努力，但這個問題仍然沒有得到解決。
這個問題被稱為 "科拉茨猜想"。
陷入混沌
但為什麽它這麽難解呢？畢竟，一個孩子都會明白這個遊戲的規則。它看起來非常簡單。
透過對小數位的科拉茨數列的初步觀察，我們沒有看到什麽出乎意料的情況，但當我們到了，例如，數位27，相應的序列是111步長，它在快速下降到1之前達到9232。
如果我們繪制27的科拉茨數列，我們會得到以下圖表。
這看起來有點隨機，事實上，這個問題有一定的隨機性，這使得它很難處理。我們稍後會再討論這個問題。
請註意，如果n是一個奇數，那麽3n+1就是一個偶數，我們需要將其除以2，因此我們可以將這兩步合並為一步，簡單地說就是(3n+1)/2。
當我們把上述兩個步驟結合起來時，我們會把得到的數列稱為簡化的科拉茨數列。
考慮一下下面的函式。
這個函式將輸出簡化後的科拉茨數列中的下一個數位，當然前提是z是一個整數。
但是這個函式，如果我們在複數平面上定義它，是一個完整的函式，這意味著我們可以給它輸入任何復數，而且它是復數可微的。
馬克-張伯倫研究了這個函式在實線上的叠代，結果發現，這導致了一個動態系統。他表明，這個猜想對於所有的正實數來說並不成立，因為存在著無限多的固定點以及軌域。
下面可以看到相應的美麗的科拉茨碎形。
這表明，這些數列確實有一些內在的混沌性。
眾所周知，動力系統和碎形源於混沌系統，例如天氣，其決定性特征是系統對初始條件極為敏感。
對於我們的問題來說，這意味著考慮整數和實數之間存在巨大差異，即使我們可以透過實數數列任意接近一個給定的整數，相應的科拉茨數列可能非常不同。這就造成了混亂。
解
那麽，解是什麽樣子的呢？我們需要證明兩件事。首先，我們需要證明所有數列都是有界的。換句話說，不存在無限的科拉茨數列。我所說的無限是指序列中的數位集是無限大的。第二，我們需要證明不可能出現迴圈。也就是說，在科拉茨數列中，我們永遠不會遇到一個數位兩次。如果我們從1開始，那麽4，2，1的序列就會無限期地重復。
當然，還有另一種解決辦法。這個猜想可能是錯的，數學家試圖驗證它，取的起始值約為2^68。1958年，波利亞猜想（ Pòlya conjecture ）被一個大約1.845×10^361的反例所推翻，這比2^68這數位大得多。
實際上，這裏還可能發生另一件事。數學家們往往不大談論這個問題，因為這是很悲傷的想法。科拉茨猜想在我們的公理系統中可能是無法解決的，也就是說，無論我們如何努力，我們都無法破解它。
不要被問題的美感所迷惑
那麽，為什麽說這是一個危險的問題呢？
因為，當你試圖解決一個數學問題，而你又不知道自己是否能夠解決它時，你就把寶貴的時間都花了，最終什麽也得不到。
時間是最寶貴的，而把它用在數學上是非常容易的，尤其是當一個問題看起來如此簡單的時候。但事實上它一點也不簡單。這就像希臘神話中的塞壬。
希臘神話中的塞壬一開始就是一群看起來像美女的生物，但實際上是吃人的野獸。他們坐在岸邊，用誘人的聲音唱歌，任何聽到他們歌聲的人都會被他們迷住。然後塞壬就會吃掉他們。
這個問題很像這樣。它看起來如此美麗和簡單，但在你意識到之前，你已經花費了多年的研究和精力，最終什麽都沒有。
實際上，許多教授警告他們的博士生不要去研究這個猜想。
真的會無功而返嗎
我只是部份同意上述觀點。就我個人而言，我花了很多很多時間思考黎曼假設、孿生質數猜想和科拉茨猜想，但我從不覺得自己浪費了時間，因為思考這些美麗的問題給我帶來快樂。
我喜歡這個過程和挑戰。即使你可能沒有更接近解決實際問題，但你可能在這個過程中發展出一些公理或一些其他工具。如果不出意外，你會體會到做原始研究的感覺，並加入到許多曾經走過這條路的人中。
